2000 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$2001$ 年，美国将主办国际数学奥林匹克。设 $I$ 、 $M$ 和 $O$ 是互不相同的正整数，且 $I \cdot M \cdot O = 2001$ 。 $I + M + O$ 的最大可能值是多少？

In the year $2001,$ the United States will host the International Mathematical Olympiad. Let $I,$ $M,$ and $O$ be distinct positive integers such that the product $I \cdot M \cdot O = 2001.$ What is the largest possible value of the sum $I + M + O?$

$23$

$55$

$99$

$111$

$671$

知识点：质因数分解最优化

难度评级：1000

小提示：

将 $2001$ 分解成质因数。

Factor $2001$ into primes

大提示：

要让和尽可能大，应让一个因数尽可能大，而另外两个因数尽可能小。

To maximize the sum, make one factor as large as possible and the others small

解答：

分解质因数得 $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29$ 。

在乘积固定且三个正整数互不相同的条件下，要使和最大，取 $I = 1$ ， $M = 3$ ，且 $O = 23 \cdot 29 = 667$ 。

最大和为 $1 + 3 + 667 = 671$ 。

因此，正确答案是 E。

Factoring gives $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

To maximize the sum of three distinct positive integers with this product, take $I = 1,$ $M = 3,$ and $O = 23 \cdot 29 = 667.$

The largest sum is $1 + 3 + 667 = 671.$

Thus, the correct answer is E.

2.

$2000(2000^{2000})$ 等于多少？

What is $2000(2000^{2000})?$

$2000^{2001}$

$4000^{2000}$

$2000^{4000}$

$4{,}000{,}000^{2000}$

$2000^{4{,}000{,}000}$

知识点：指数

难度评级：950

小提示：

把前面的因数写成 $2000^1$ 。

Write the leading factor as $2000^1$

大提示：

同底数幂相乘时，指数相加。

Multiplying powers of the same base adds the exponents

解答：

将 $2000 = 2000^1$ 得到 $\begin{gathered} 2000^1 \cdot 2000^{2000} \\ = 2000^{1 + 2000} \\ = 2000^{2001} \end{gathered}\text{。}$

其他选项都比这个值大。

因此，正确答案是 A。

Writing $2000 = 2000^1,$ we get $\begin{gathered} 2000^1 \cdot 2000^{2000} \\ = 2000^{1 + 2000} \\ = 2000^{2001}. \end{gathered}$

All of the other options are larger than this.

Thus, the correct answer is A.

3.

Jenny 每天吃掉当天开始时罐子里软糖的 $20\%$ 。第二天结束时还剩 $32$ 颗。罐子里原来有多少颗软糖？

Each day, Jenny ate $20\%$ of the jellybeans that were in her jar at the beginning of that day. At the end of the second day, $32$ remained. How many jellybeans were in the jar originally?

$40$

$50$

$55$

$60$

$75$

知识点：百分数逆推法

难度评级：1080

小提示：

每天吃掉 $20\%$ ，所以每天结束时剩下 $80\%$ 。

Eating $20\%$ leaves $80\%$ at the end of each day

大提示：

两天后剩下原数量的 $(0.8)^2$ 。

After two days, $(0.8)^2$ of the original amount remains

解答：

每天吃掉 $20\%$ ，所以每天结束时剩下 $80\%$ 。若原来有 $x$ 颗，则 $(0.8)^2 x = 32\text{。}$

解得 $0.64x = 32$ ，所以 $x = 50$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $20\%$ is eaten each day, $80\%$ remains at the end of each day. If $x$ is the original number, then $(0.8)^2 x = 32.$

Solving gives $0.64x = 32,$ so $x = 50.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Fibonacci 数列 $1$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $5$ ， $8$ ， $13$ ， $21$ ， $\ldots$ 以两个 $1$ 开始，之后每一项都是前两项之和。十个数字中，哪一个最晚出现在 Fibonacci 数列某一项的个位上？

The Fibonacci sequence $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13,$ $21,$ $\ldots$ starts with two $1$ s, and each term afterwards is the sum of its two predecessors. Which one of the ten digits is the last to appear in the units position of a number in the Fibonacci sequence?

$0$

$4$

$6$

$7$

$9$

知识点：斐波那契数列个位数字系统列举

难度评级：1240

小提示：

只追踪每一项的个位数字。

Track only the units digit of each term

大提示：

列出个位数字，直到十个数字都出现，并注意哪个最后出现。

List the units digits until all ten digits have appeared, and note which shows up last

解答：

个位数字序列开始为 $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

查看这个列表，数字 $6$ 是十个数字中最后出现的。

因此，正确答案是 C。

The sequence of units digits begins $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

Scanning this list, the digit $6$ is the last of the ten digits to appear.

Thus, the correct answer is C.

5.

若 $|x - 2| = p$ ，且 $x \lt 2$ ，则 $x - p$ 是多少？

If $|x - 2| = p,$ where $x \lt 2,$ then what is $x - p?$

$-2$

$2$

$2 - 2p$

$2p - 2$

$|2p - 2|$

知识点：绝对值

难度评级：1150

小提示：

因为 $x \lt 2$ ，所以 $x - 2$ 为负，且 $|x - 2| = 2 - x$ 。

Since $x \lt 2,$ the quantity $x - 2$ is negative, so $|x - 2| = 2 - x$

大提示：

先由 $2 - x = p$ 解出 $x$ ，再计算 $x - p$ 。

Solve $2 - x = p$ for $x,$ then compute $x - p$

解答：

因为 $x \lt 2$ ，所以 $|x - 2| = 2 - x = p$ ，因此 $x = 2 - p$ 。

于是 $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Since $x \lt 2,$ we have $|x - 2| = 2 - x = p,$ so $x = 2 - p.$

Then $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p.$

Thus, the correct answer is C.

6.

从 $4$ 和 $18$ 之间选出两个不同的质数。用它们的乘积减去它们的和，可能得到下列哪个数？

Two different prime numbers between $4$ and $18$ are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

$21$

$60$

$119$

$180$

$231$

知识点：质数奇偶性因式分解

难度评级：1310

小提示：

这些质数是 $5, 7, 11, 13$ 和 $17$ ；注意 $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$

The primes are $5, 7, 11, 13,$ and $17$ ; note that $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$

大提示：

两个质数都是奇数，所以 $(x-1)(y-1)-1 \equiv 3 \pmod 4$ ；再检验剩下的候选项。

Both primes are odd, so $(x-1)(y-1)-1 \equiv 3 \pmod 4;$ then test the remaining candidates

解答：

$4$ 和 $18$ 之间的质数是 $5, 7, 11, 13$ 和 $17$ 。

对这样的两个质数， $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ 是两个偶数的乘积减去 $1$ ，因此它同余于 $3 \pmod 4$ 。这样只剩下 $119$ 和 $231$ 。后者要求 $(x-1)(y-1)=232$ ，但 $\{4,6,10,12,16\}$ 中没有两个不同的数的乘积等于 $232$ 。

实际上， $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The primes between $4$ and $18$ are $5, 7, 11, 13,$ and $17.$

For two such primes, $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ is a product of two even numbers minus $1,$ hence it is $3 \pmod 4.$ This leaves $119$ and $231.$ The latter would require $(x-1)(y-1)=232,$ but no two distinct numbers in $\{4,6,10,12,16\}$ have product $232.$

Indeed, $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

7.

有多少个正整数 $b$ 满足 $\log_b 729$ 是正整数？

How many positive integers $b$ have the property that $\log_b 729$ is a positive integer?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

知识点：对数因数个数完全幂

难度评级：1370

小提示：

若 $\log_b 729 = n$ ，则 $b^n = 729 = 3^6$ 。

If $\log_b 729 = n,$ then $b^n = 729 = 3^6$

大提示：

要使 $b$ 为整数， $n$ 必须是 $6$ 的正因数。

For $b$ to be an integer, $n$ must be a positive divisor of $6$

解答：

若 $\log_b 729 = n$ ，则 $b^n = 729 = 3^6$ ，所以 $n$ 必须是 $6$ 的正因数。

$n = 1, 2, 3, 6$ 分别给出 $b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1$ ，也就是 $729, 27, 9$ 和 $3$ 。

共有 $4$ 个这样的 $b$ 。

因此，正确答案是 E。

If $\log_b 729 = n,$ then $b^n = 729 = 3^6,$ so $n$ must be a positive divisor of $6.$

The possibilities $n = 1, 2, 3, 6$ give $b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1,$ that is, $729, 27, 9,$ and $3.$

There are $4$ such values of $b.$

Thus, the correct answer is E.

8.

图形 $0$ ， $1$ ， $2$ 和 $3$ 分别由 $1$ ， $5$ ， $13$ 和 $25$ 个互不重叠的单位正方形组成。如果继续这个规律，图形 $100$ 中会有多少个互不重叠的单位正方形？

Figures $0,$ $1,$ $2,$ and $3$ consist of $1,$ $5,$ $13,$ and $25$ nonoverlapping unit squares, respectively. If the pattern were continued, how many nonoverlapping unit squares would there be in figure $100?$

$10401$

$19801$

$20201$

$39801$

$40801$

知识点：找规律完全平方数

难度评级：1370

小提示：

每个图形都是一个菱形，各行长度按奇数 $1, 3, 5, \ldots$ 增大后再减小。

Each figure is a diamond whose rows are the odd numbers $1, 3, 5, \ldots$ up and back down

大提示：

图形 $n$ 有 $n^2 + (n + 1)^2$ 个单位正方形。

Figure $n$ has $n^2 + (n + 1)^2$ unit squares

解答：

图形 $n$ 是一个菱形，各行长度按奇数增大后再减小，所以共有 $n^2 + (n + 1)^2$ 个单位正方形。这与 $n = 0, 1, 2, 3$ 时的 $1, 5, 13, 25$ 相符。

因此图形 $100$ 中单位正方形的个数为 $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201 \end{aligned}$ 个。

因此，正确答案是 C。

Figure $n$ is a diamond whose row lengths increase through the odd numbers and back down, giving a total of $n^2 + (n + 1)^2$ unit squares. This matches $1, 5, 13, 25$ for $n = 0, 1, 2, 3.$

Therefore figure $100$ has $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201 \end{aligned}$ unit squares.

Thus, the correct answer is C.

9.

Walter 老师给一个五人数学班考试。她把成绩按随机顺序输入电子表格，表格在每输入一个成绩后重新计算班级平均分。Walter 老师注意到每次输入后，平均分总是整数。五个成绩按升序为 $71$ ， $76$ ， $80$ ， $82$ 和 $91$ 。Walter 老师最后输入的成绩是多少？

Mrs. Walter gave an exam in a mathematics class of five students. She entered the scores in random order into a spreadsheet, which recalculated the class average after each score was entered. Mrs. Walter noticed that after each score was entered, the average was always an integer. The scores (listed in ascending order) were $71,$ $76,$ $80,$ $82,$ and $91.$ What was the last score Mrs. Walter entered?

$71$

$76$

$80$

$82$

$91$

知识点：整除性模运算平均数

难度评级：1580

小提示：

前 $k$ 个输入成绩的和必须能被 $k$ 整除。

The sum of the first $k$ scores entered must be divisible by $k$

大提示：

先用能被 $3$ 整除，再用能被 $4$ 整除；这些成绩模 $3$ 的余数是 $2, 1, 2, 1, 1$ 。

Use divisibility by $3$ then by $4$ ; the residues of the scores modulo $3$ are $2, 1, 2, 1, 1$

解答：

总和为 $71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400$ ，可被 $5$ 整除。前三个成绩的和必须能被 $3$ 整除。

模 $3$ ，这些成绩的余数是 $2, 1, 2, 1, 1$ 。唯一和为 $3$ 的倍数的三元组是 $76 + 82 + 91 = 249$ ，所以它们是前三个成绩（其中 $91$ 第三个，因为前两个 $76$ 和 $82$ ，必须奇偶性相同）。

因为 $249 \equiv 1 \pmod 4$ ，第四个成绩必须 $\equiv 3 \pmod 4$ ，即 $71$ 。于是最后输入的是 $80$ 。

因此，正确答案是 C。

The total is $71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400,$ which is divisible by $5.$ The sum of the first three scores must be divisible by $3.$

Modulo $3,$ the scores are $2, 1, 2, 1, 1.$ The only triple summing to a multiple of $3$ is $76 + 82 + 91 = 249,$ so these are the first three (with $91$ third, since the first two, $76$ and $82,$ must have equal parity).

Since $249 \equiv 1 \pmod 4,$ the fourth score must be $\equiv 3 \pmod 4,$ which is $71.$ That leaves $80$ as the last score entered.

Thus, the correct answer is C.

10.

点 $P = (1, 2, 3)$ 关于 $xy$ -平面反射，得到的像 $Q$ 再绕 $x$ -轴旋转 $180^\circ$ 得到 $R$ ，最后 $R$ 沿正 $y$ 方向平移 $5$ 个单位得到 $S$ 。 $S$ 的坐标是什么？

The point $P = (1, 2, 3)$ is reflected in the $xy$ -plane, then its image $Q$ is rotated by $180^\circ$ about the $x$ -axis to produce $R,$ and finally, $R$ is translated by $5$ units in the positive $y$ direction to produce $S.$ What are the coordinates of $S?$

$(1, 7, -3)$

$(-1, 7, -3)$

$(-1, -2, 8)$

$(-1, 3, 3)$

$(1, 3, 3)$

知识点：变换立体几何坐标几何

难度评级：1390

小提示：

关于 $xy$ -平面反射会使 $z$ -坐标变号。

Reflecting in the $xy$ -plane negates the $z$ -coordinate

大提示：

绕 $x$ -轴旋转 $180^\circ$ 会使 $y$ -坐标和 $z$ -坐标都变号。

A $180^\circ$ turn about the $x$ -axis negates both the $y$ - and $z$ -coordinates

解答：

$(1, 2, 3)$ 关于 $xy$ -平面反射得到 $Q = (1, 2, -3)$ 。

绕 $x$ -轴旋转 $180^\circ$ 会使 $y$ 和 $z$ 变号，得到 $R = (1, -2, 3)$ 。

沿正 $y$ 方向平移 $5$ 个单位得到 $S = (1, 3, 3)$ 。

因此，正确答案是 E。

Reflecting $(1, 2, 3)$ in the $xy$ -plane gives $Q = (1, 2, -3).$

Rotating $180^\circ$ about the $x$ -axis negates $y$ and $z,$ giving $R = (1, -2, 3).$

Translating $5$ units in the positive $y$ direction gives $S = (1, 3, 3).$

Thus, the correct answer is E.

11.

两个非零实数 $a$ 和 $b$ 满足 $ab = a - b$ 。求下式的一个可能值： $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab\text{。}$

Two non-zero real numbers, $a$ and $b,$ satisfy $ab = a - b.$ Find a possible value of $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.$

$-2$

$-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$2$

知识点：代数变形换元法

难度评级：1530

小提示：

通分： $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}$ 。

Combine over a common denominator: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}$

大提示：

在分子中用 $a - b$ 替换 $ab$ ，再展开。

Replace $ab$ with $a - b$ in the numerator and expand

解答：

通分得 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}\text{。}$

在分子中用 $a - b$ 替换 $ab$ ，得 $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab \end{gathered}\text{。}$

因此原式等于 $\dfrac{2ab}{ab} = 2$ 。

因此，正确答案是 E。

Combining over a common denominator, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Replacing $ab$ with $a - b$ in the numerator, $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}$

Therefore the expression equals $\dfrac{2ab}{ab} = 2.$

Thus, the correct answer is E.

12.

设 $A$ 、 $M$ 和 $C$ 是非负整数，且 $A + M + C = 12$ 。求下式的最大值： $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A \end{aligned}\text{？}$

Let $A,$ $M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 12.$ What is the maximum value of $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

$62$

$72$

$92$

$102$

$112$

知识点：因式分解算术-几何平均不等式最优化

难度评级：1650

小提示：

$AMC + AM + MC + CA$ $= (A + 1)(M + 1)(C + 1)$ $- (A + M + C) - 1$ 。

$AMC + AM + MC + CA$ $= (A + 1)(M + 1)(C + 1)$ $- (A + M + C) - 1$

大提示：

三个因数 $A+1, M+1, C+1$ 的和为 $15$ ，所以它们越接近相等，乘积越大。

The three factors $A+1, M+1, C+1$ sum to $15,$ so their product is largest when they are equal

解答：

注意 $\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1 \end{aligned}\text{。}$

因为 $A + M + C = 12$ ，原式等于 $(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13$ 。这三个因数的和为 $15$ ，乘积在它们都等于 $5$ 时最大，等于 $5^3 = 125$ 。

最大值为 $125 - 13 = 112$ 。

因此，正确答案是 E。

Observe that $\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}$

Since $A + M + C = 12,$ this equals $(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.$ The three factors sum to $15,$ so their product is maximized when each equals $5,$ giving $5^3 = 125.$

The maximum value is $125 - 13 = 112.$

Thus, the correct answer is E.

13.

某天早上，Angela 家的每个人都喝了一杯 $8$ -盎司的咖啡牛奶混合饮品。每杯中咖啡和牛奶的量可能不同，但都不为零。Angela 喝掉了全家牛奶总量的四分之一和咖啡总量的六分之一。这个家庭有多少人？

One morning each member of Angela’s family drank an $8$ -ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

知识点：分数一次方程极限情形界定

难度评级：1710

小提示：

设 Angela 自己的一杯中有 $c$ 杯咖啡和 $m$ 杯牛奶，且 $c + m = 1$ 。

Suppose Angela’s own cup contains $c$ units of coffee and $m$ units of milk with $c + m = 1$

大提示：

则全家共有 $6c$ 杯咖啡和 $4m$ 杯牛奶，所以人数为 $6c + 4m$ 。

Then the family total is $6c$ coffee and $4m$ milk, so the number of people is $6c + 4m$

解答：

以 $8$ -盎司的一杯为单位计量，所以 Angela 的杯中有 $c$ 杯咖啡和 $m$ 杯牛奶，且 $c + m = 1$ 。

因为 Angela 喝掉了咖啡总量的六分之一，所以咖啡总量为 $6c$ ；因为她喝掉了牛奶总量的四分之一，所以牛奶总量为 $4m$ 。人数等于总杯数： $\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c \end{aligned}\text{。}$

这必须是整数，所以 $2c$ 是整数。又因 $0 \lt c \lt 1$ ，只能有 $c = \tfrac12$ ，从而人数为 $4 + 1 = 5$ 。

因此，正确答案是 C。

Measure amounts in $8$ -ounce cups, so Angela’s cup holds $c$ coffee and $m$ milk with $c + m = 1.$

Since Angela drank a sixth of the coffee, the total coffee is $6c$ ; since she drank a quarter of the milk, the total milk is $4m.$ The number of people equals the total number of cups, $\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c. \end{aligned}$

This is an integer only when $2c$ is an integer, and since $0 \lt c \lt 1$ this forces $c = \tfrac12,$ giving $4 + 1 = 5$ people.

Thus, the correct answer is C.

14.

当列表 $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$

的平均数、中位数和众数按递增顺序排列后，它们形成一个非常数等差数列。所有可能的实数 $x$ 的和是多少？

When the mean, median, and mode of the list $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$

are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of $x?$

$3$

$6$

$9$

$17$

$20$

知识点：平均数中位数（数据）众数分类讨论

难度评级：1840

小提示：

众数是 $2$ ，平均数是 $\dfrac{25 + x}{7}$ 。

The mode is $2,$ and the mean is $\dfrac{25 + x}{7}$

大提示：

按 $x$ 相对于其他数的位置分情况，并要求等差数列非常数。

Split into cases by where $x$ falls relative to the other numbers, and require a non-constant progression

解答：

六个固定数的和为 $25$ ，所以平均数是 $\dfrac{25 + x}{7}$ ，众数是 $2$ 。若 $x \le 2$ ，则 $2$ 同时是中位数和众数，会迫使等差数列为常数，所以 $x \gt 2$ 。

情形 $2 \lt x \lt 4$ ： 中位数为 $x$ 。要求 $2, x, \dfrac{25 + x}{7}$ 构成等差数列，得到此范围内唯一的值 $x = 3$ 。

情形 $x \ge 4$ ： 中位数为 $4$ ，等差数列 $2, 4, 6$ 迫使平均数为 $6$ ，所以 $\dfrac{25 + x}{7} = 6$ ，得 $x = 17$ 。

所有可能值的和为 $3 + 17 = 20$ 。

因此，正确答案是 E。

The six fixed numbers sum to $25,$ so the mean is $\dfrac{25 + x}{7},$ and the mode is $2.$ If $x \le 2,$ then $2$ is both median and mode, forcing a constant progression, so $x \gt 2.$

Case $2 \lt x \lt 4$ : the median is $x.$ Requiring $2, x, \dfrac{25 + x}{7}$ to form an arithmetic progression yields $x = 3$ as the only value in this range.

Case $x \ge 4$ : the median is $4,$ and the progression $2, 4, 6$ forces the mean to be $6,$ so $\dfrac{25 + x}{7} = 6,$ giving $x = 17.$

The sum of all possible values is $3 + 17 = 20.$

Thus, the correct answer is E.

15.

设函数 $f$ 满足 $f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1$ 。求所有满足 $f(3z) = 7$ 的 $z$ 的和。

Let $f$ be a function for which $f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7.$

$-\dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{1}{9}$

$0$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{5}{3}$

知识点：函数换元法韦达定理

难度评级：1650

小提示：

要计算 $f(3z)$ ，令 $\dfrac{x}{3} = 3z$ ，所以 $x = 9z$ 。

To evaluate $f(3z),$ set $\dfrac{x}{3} = 3z,$ so $x = 9z$

大提示：

这样会得到关于 $z$ 的二次方程；使用根和公式 $-\dfrac{b}{a}$ 。

This gives a quadratic in $z$ ; use the sum-of-roots formula $-\dfrac{b}{a}$

解答：

令 $\dfrac{x}{3} = 3z$ 得到 $x = 9z$ ，所以 $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7 \end{aligned}\text{。}$

整理得 $81z^2 + 9z - 6 = 0$ 。

由根和公式，所有 $z$ 的和为 $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}$ 。

因此，正确答案是 B。

Setting $\dfrac{x}{3} = 3z$ gives $x = 9z,$ so $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}$

This rearranges to $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of $z$ is $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

16.

一个 $13$ 行 $17$ 列的棋盘，每个方格中都写有一个数，从左上角开始编号，第一行编号为 $1$ ， $2$ ， $\ldots$ ， $17$ ，第二行编号为 $18$ ， $19$ ， $\ldots$ ， $34$ ，依此向下。如果重新编号，使左列从上到下为 $1$ ， $2$ ， $\ldots$ ， $13$ ，第二列为 $14$ ， $15$ ， $\ldots$ ， $26$ ，依此向右，有些方格在两种编号方式下得到相同的数。求这些方格中数字的和（任一种编号方式下都一样）。

A checkerboard of $13$ rows and $17$ columns has a number written in each square, beginning in the upper left corner, so that the first row is numbered $1,$ $2,$ $\ldots,$ $17,$ the second row $18,$ $19,$ $\ldots,$ $34,$ and so on down the board. If the board is renumbered so that the left column, top to bottom, is $1,$ $2,$ $\ldots,$ $13,$ the second column $14,$ $15,$ $\ldots,$ $26$ and so on across the board, some squares have the same numbers in both numbering systems. Find the sum of the numbers in these squares (under either system).

$222$

$333$

$444$

$555$

$666$

知识点：丢番图方程系统列举

难度评级：1770

小提示：

第 $m$ 行第 $n$ 列的方格原来编号为 $17(m - 1) + n$ ，重新编号后为 $13(n - 1) + m$ 。

The square in row $m,$ column $n$ is numbered $17(m - 1) + n$ originally and $13(n - 1) + m$ after

大提示：

令两个表达式相等，得到 $4m - 3n = 1$ ；找出所有合法的 $(m, n)$ 。

Setting the two expressions equal gives $4m - 3n = 1$ ; find all valid $(m, n)$

解答：

方格 $(m, n)$ 原来的编号为 $17(m - 1) + n$ ，重新编号后为 $13(n - 1) + m$ 。令它们相等，得 $4m - 3n = 1\text{。}$

满足 $1 \le m \le 13$ 且 $1 \le n \le 17$ 的解为 $(1, 1)$ ， $(4, 5)$ ， $(7, 9)$ ， $(10, 13)$ ，和 $(13, 17)$ 。

这些方格中的数为 $1, 56, 111, 166$ 和 $221$ ，总和为 $555$ 。

因此，正确答案是 D。

The square $(m, n)$ is numbered $17(m - 1) + n$ originally and $13(n - 1) + m$ after renumbering. Setting these equal gives $4m - 3n = 1.$

The solutions with $1 \le m \le 13$ and $1 \le n \le 17$ are $(1, 1),$ $(4, 5),$ $(7, 9),$ $(10, 13),$ and $(13, 17).$

These squares hold the numbers $1, 56, 111, 166,$ and $221,$ whose sum is $555.$

Thus, the correct answer is D.

17.

一个以 $O$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆经过点 $A$ 。线段 $AB$ 在点 $A$ 处与圆相切，且 $\angle AOB = \theta$ 。若点 $C$ 位于 $\overline{OA}$ 上，且 $BC$ 平分 $\angle ABO$ ，则 $OC$ 等于多少？

A circle centered at $O$ has radius $1$ and contains the point $A.$ Segment $AB$ is tangent to the circle at $A$ and $\angle AOB = \theta.$ If point $C$ lies on $\overline{OA}$ and $BC$ bisects $\angle ABO,$ then what is $OC?$

$\sec^2\theta - \tan\theta$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\cos^2\theta}{1 + \sin\theta}$

$\dfrac{1}{1 + \sin\theta}$

$\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$

知识点：角平分线定理切线三角学

难度评级：1870

小提示：

因为 $OA = 1$ 且 $\angle OAB = 90^\circ$ ，所以 $BA = \tan\theta$ ， $OB = \sec\theta$ 。

Since $OA = 1$ and $\angle OAB = 90^\circ,$ we have $BA = \tan\theta$ and $OB = \sec\theta$

大提示：

角平分线给出 $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}$ ，且 $OC + CA = OA = 1$ 。

The bisector gives $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA},$ and $OC + CA = OA = 1$

解答：

因为 $OA = 1$ 且 $AB$ 在 $A$ 点与圆相切，角 $OAB$ 为直角，所以 $BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta\text{。}$

因为 $BC$ 平分 $\angle ABO$ ，由角平分线定理得 $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}$ 。又 $OC + CA = OA = 1$ ， $\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta} \end{aligned}\text{。}$

分子分母同乘 $\cos\theta$ 得到 $OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}$ 。

因此，正确答案是 D。

Because $OA = 1$ and $AB$ is tangent at $A,$ angle $OAB$ is right, so $BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta.$

Since $BC$ bisects $\angle ABO,$ the angle bisector theorem gives $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}.$ Using $OC + CA = OA = 1,$ $\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta}. \end{aligned}$

Multiplying numerator and denominator by $\cos\theta$ gives $OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

$N$ 年的第 $300$ 天是星期二， $N + 1$ 年的第 $200$ 天也是星期二。那么 $N - 1$ 年的第 $100$ 天是星期几？

In year $N,$ the $300$ th day of the year is a Tuesday. In year $N + 1,$ the $200$ th day is also a Tuesday. On what day of the week did the $100$ th day of year $N - 1$ occur?

星期四

Thursday

星期五

Friday

星期六

Saturday

星期日

Sunday

星期一

Monday

知识点：日期与时间模运算

难度评级：1870

小提示：

两个日期在同一星期几，当且仅当它们之间相隔的天数是 $7$ 的倍数。

Two dates fall on the same weekday exactly when the number of days between them is a multiple of $7$

大提示：

用两个给定的星期二判断 $N - 1, N, N + 1$ 中哪一年是闰年。

Use the two given Tuesdays to decide which of $N - 1, N, N + 1$ is a leap year

解答：

从 $N$ 年第 $300$ 天到 $N + 1$ 年第 $200$ 天，若 $N$ 不是闰年，相隔 $365 - 300 + 200 = 265$ 天。但 $265 = 7 \cdot 37 + 6$ ，会落在星期一，而不是星期二。

所以 $N$ 是闰年，相隔 $266 = 7 \cdot 38$ 天，正好仍为星期二。因此 $N - 1$ 年不是闰年。

$N - 1$ 年第 $100$ 天比 $N$ 年第 $300$ 天早 $365 - 100 + 300 = 565$ 天。因为 $565 = 7 \cdot 80 + 5$ ，所以那一天比星期二早 $5$ 天，即星期四。

因此，正确答案是 A。

From day $300$ of year $N$ to day $200$ of year $N + 1,$ the number of days is $365 - 300 + 200 = 265$ if $N$ is not a leap year. But $265 = 7 \cdot 37 + 6,$ which would land on a Monday, not a Tuesday.

So year $N$ is a leap year, and the gap is $266 = 7 \cdot 38$ days, giving a Tuesday as stated. It follows that year $N - 1$ is not a leap year.

The $100$ th day of year $N - 1$ precedes the Tuesday on day $300$ of year $N$ by $365 - 100 + 300 = 565$ days. Since $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ that day is $5$ weekdays before Tuesday, namely Thursday.

Thus, the correct answer is A.

19.

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ 、 $BC = 14$ 、 $AC = 15$ 。设 $D$ 为 $\overline{BC}$ 的中点， $E$ 为角 $BAC$ 的角平分线与 $\overline{BC}$ 的交点。下列哪一个数最接近三角形 $ADE$ 的面积？

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $AC = 15.$ Let $D$ denote the midpoint of $\overline{BC}$ and let $E$ denote the intersection of $\overline{BC}$ with the bisector of angle $BAC.$ Which of the following is closest to the area of triangle $ADE?$

$2$

$2.5$

$3$

$3.5$

$4$

知识点：海伦公式角平分线定理三角形面积

难度评级：1810

小提示：

由海伦公式， $\triangle ABC$ 的面积为 $84$ ，所以从 $A$ 到 $BC$ 的高为 $12$ 。

By Heron’s formula the area of $\triangle ABC$ is $84,$ so the altitude from $A$ to $BC$ is $12$

大提示：

$D$ 距 $B$ 的距离为 $7$ ；角平分线交点 $E$ 满足 $BE : EC = 13 : 15$ 。

$D$ is at distance $7$ from $B$ ; the bisector foot $E$ satisfies $BE : EC = 13 : 15$

解答：

由海伦公式， $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ ，所以从 $A$ 到 $BC$ 的高为 $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12$ 。

中点 $D$ 到 $B$ 的距离为 $7$ 。从 $A$ 作出的角平分线与 $BC$ 相交于 $E$ ，且 $BE : EC = AB : AC = 13 : 15$ ，所以 $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5$ 。

$D$ 和 $E$ 都在 $BC$ 上，所以 $\triangle ADE$ 的底为 $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ ，高为 $12$ ，面积为 $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3\text{。}$

因此，正确答案是 C。

By Heron’s formula, the area of $\triangle ABC$ is $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the altitude from $A$ to $BC$ is $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

The midpoint $D$ is $7$ from $B.$ The bisector from $A$ meets $BC$ at $E$ with $BE : EC = AB : AC = 13 : 15,$ so $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.$

Both $D$ and $E$ lie on $BC,$ so $\triangle ADE$ has base $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ and altitude $12,$ giving area $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.$

Thus, the correct answer is C.

20.

若正数 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 满足 $x + \frac{1}{y} = 4\text{，}$ $y + \frac{1}{z} = 1\text{，}$ 以及 $z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}\text{，}$ 则 $xyz$ 等于多少？

If $x,$ $y,$ and $z$ are positive numbers satisfying $x + \frac{1}{y} = 4,$ $y + \frac{1}{z} = 1,$ and $z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3},$ then what is $xyz?$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$2$

$\dfrac{7}{3}$

知识点：方程组代数变形对称性（代数）

难度评级：1970

小提示：

将三个方程相加，并另外将三个方程相乘。

Add the three equations, and separately multiply all three together

大提示：

展开乘积会得到 $xyz + \dfrac{1}{xyz}$ ，再加上你已经算出的和。

Expanding the product produces $xyz + \dfrac{1}{xyz}$ plus the sum you already computed

解答：

三个方程相加得 $\begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}\text{。} \end{gathered}$

三个方程相乘得 $4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}\text{。}$

展开乘积，得到 $\begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}\text{。} \end{aligned}$ 中间括号中的一组之和就是 $\tfrac{22}{3}$ ，所以 $xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2$ 。

因此 $(xyz - 1)^2 = 0$ ，所以 $xyz = 1$ 。

因此，正确答案是 B。

Adding the three equations gives $\begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}. \end{gathered}$

Multiplying them gives $4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}.$

Expanding the product, $\begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}. \end{aligned}$ The middle group is the sum $\tfrac{22}{3},$ so $xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2.$

Hence $(xyz - 1)^2 = 0,$ so $xyz = 1.$

Thus, the correct answer is B.

21.

过直角三角形斜边上的一点，作两条分别平行于两条直角边的直线，把三角形分成一个正方形和两个较小的直角三角形。若其中一个小直角三角形的面积是正方形面积的 $m$ 倍，则另一个小直角三角形面积与正方形面积的比是多少？

Through a point on the hypotenuse of a right triangle, lines are drawn parallel to the legs of the triangle so that the triangle is divided into a square and two smaller right triangles. The area of one of the two small right triangles is $m$ times the area of the square. What is the ratio of the area of the other small right triangle to the area of the square?

$\dfrac{1}{2m + 1}$

$m$

$1 - m$

$\dfrac{1}{4m}$

$\dfrac{1}{8m^2}$

知识点：相似面积比

难度评级：1970

小提示：

设正方形边长为 $1$ ；一个小三角形沿正方形的一条边有一条长为 $r$ 的直角边，所以它的面积是 $\dfrac{r}{2} = m$ 。

Let the square have side $1$ ; one small triangle has a leg $r$ along the square, so its area is $\dfrac{r}{2} = m$

大提示：

两个小三角形相似，所以另一个三角形对应的直角边长为 $\dfrac{1}{r}$ 。

The two small triangles are similar, so the other triangle’s matching leg is $\dfrac{1}{r}$

解答：

设正方形边长为 $1$ 。与正方形一边相邻的小三角形有一条长为 $r$ 的垂直边，所以它的面积为 $\tfrac12 \cdot 1 \cdot r = m$ ，从而 $r = 2m$ 。

两个小三角形相似，所以另一个三角形沿正方形的直角边长为 $\dfrac1r$ ，面积为 $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac1r = \frac{1}{2r} = \frac{1}{4m}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Let the square have side $1.$ The small triangle sharing one side of the square has a perpendicular leg $r,$ so its area is $\tfrac12 \cdot 1 \cdot r = m,$ giving $r = 2m.$

The two small triangles are similar, so the other triangle’s leg along the square is $\dfrac1r,$ and its area is $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac1r = \frac{1}{2r} = \frac{1}{4m}.$

Thus, the correct answer is D.

22.

下图显示了由四次多项式 $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ 定义的曲线的一部分。下列哪一项最小？

The graph below shows a portion of the curve defined by the quartic polynomial $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.$ Which of the following is the smallest?

$P(-1)$

$P$ 的零点的乘积

The product of the zeros of $P$

$P$ 的非实零点的乘积

The product of the non-real zeros of $P$

$P$ 的系数之和

The sum of the coefficients of $P$

$P$ 的实零点之和

The sum of the real zeros of $P$

知识点：多项式韦达定理复数

难度评级：2030

小提示：

图像显示恰有两个实零点，且都为正数，所以 $P$ 有两个非实（共轭）零点。

The graph shows exactly two real zeros, both positive, so $P$ has two non-real (conjugate) zeros

大提示：

所有零点的乘积等于 $d$ ，即 $y$ -截距；再除以实零点的乘积。

The product of all zeros equals $d,$ the $y$ -intercept; divide it by the product of the real zeros

解答：

图像与 $x$ -轴恰好相交两次，且两次都在正数处，所以 $P$ 有两个实零点和两个非实（复共轭）零点。

从图像读出：系数之和为 $P(1) \gt 3$ ； $P(-1) \gt 4$ ；实零点之和大于 $4.5$ ；所有零点的乘积为 $d$ ，即 $y$ -截距，小于 $6$ 。

设实零点的乘积为 $R$ ，则 $R \gt 4.5$ 。非实零点的乘积为 $\dfrac dR$ ，它小于 $\dfrac{6}{4.5} \lt 2$ 。

这比列出的其他每一个量都小。

因此，正确答案是 C。

The graph crosses the $x$ -axis exactly twice, both times at positive values, so $P$ has two real zeros and two non-real (complex conjugate) zeros.

Reading off the graph: the sum of the coefficients is $P(1) \gt 3;$ $P(-1) \gt 4;$ the sum of the real zeros is greater than $4.5;$ and the product of all zeros is $d,$ the $y$ -intercept, which is less than $6.$

Let $R$ be the product of the real zeros, so $R \gt 4.5.$ The product of the non-real zeros is $\dfrac dR,$ which is less than $\dfrac{6}{4.5} \lt 2.$

This is smaller than every other listed quantity.

Thus, the correct answer is C.

23.

Gamble 教授买了一张彩票，需要从 $1$ 到 $46$ （含）中选出六个不同的整数。他选择的数字满足这六个数字的常用对数之和为整数。碰巧中奖彩票上的整数也有相同性质，即常用对数之和为整数。Gamble 教授持有中奖彩票的概率是多少？

Professor Gamble buys a lottery ticket, which requires that he pick six different integers from $1$ through $46,$ inclusive. He chooses his numbers so that the sum of the base-ten logarithms of his six numbers is an integer. It so happens that the integers on the winning ticket have the same property -- the sum of the base-ten logarithms is an integer. What is the probability that Professor Gamble holds the winning ticket?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

知识点：对数质因数分解基本概率

难度评级：2330

小提示：

对数之和为整数，当且仅当这六个数的乘积是 $10$ 的幂。

The sum of logarithms is an integer exactly when the product of the six numbers is a power of $10$

大提示：

只能选形如 $2^a 5^b$ 的数；平衡总的 $2$ 因子和 $5$ 因子。

Only numbers of the form $2^a 5^b$ can appear; balance the total factors of $2$ and $5$

解答：

对数之和为整数 $k$ ，当且仅当六个数的乘积为 $10^k$ 。因为 $10 = 2 \cdot 5$ ，每个选中的数都必须形如 $2^a 5^b$ ，所以只能来自 $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40\text{。}$

对每个数记录因数 $2$ 的个数比因数 $5$ 的个数多多少： $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2$ 。乘积为 $10$ 的幂，要求六个所选数中 $2$ 与 $5$ 的总指数相等，也就是这些差值之和为 $0$ 。

负差值只有 $5$ 的 $-1$ 和 $25$ 的 $-2$ 。总差值为 $0$ 的六数彩票必须同时包含两者：缺少任意一个，都没有足够的零和小正差值凑满六个数。因此另外四个数的差值之和必须为 $3$ 。差值为 $0$ 的数有两个（ $1,10$ ），差值为 $1$ 的数有两个（ $2,20$ ），差值为 $2$ 的数有两个（ $4,40$ ）；若使用差值至少为 $3$ 的数，就没有足够的零差值数凑满四个。因此必须取两个差值为 $0$ 的数、一个差值为 $1$ 的数和一个差值为 $2$ 的数。恰有四张有效彩票： $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\}$ ， $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\}$ ， $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\}$ ，和 $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}$ 。

Gamble 教授持有其中一张，而只有一张与中奖彩票相同，所以概率为 $\dfrac14$ 。

所以正确答案是 B。

The sum of the logarithms is an integer $k$ exactly when the product of the six numbers is $10^k.$ Since $10 = 2 \cdot 5,$ each chosen number must be of the form $2^a 5^b,$ so it comes from $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40.$

For each, record the excess of factors of $2$ over factors of $5$ : $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2.$ The product is a power of $10$ only if the six chosen values have equal totals of $2$ s and $5$ s, i.e. their excesses sum to $0.$

The only negative excesses are $-1$ for $5$ and $-2$ for $25.$ A six-number ticket with total excess $0$ must contain both: omitting either leaves too few zero and small positive excesses to reach six numbers. The other four numbers must therefore have total excess $3.$ There are two numbers of excess $0$ ( $1,10$ ), two of excess $1$ ( $2,20$ ), and two of excess $2$ ( $4,40$ ); any number of excess at least $3$ would leave too few zeros to complete a four-number selection. Thus we must take both excess- $0$ numbers, one excess- $1$ number, and one excess- $2$ number. This gives exactly four valid tickets: $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\},$ $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\},$ $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\},$ and $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

Professor Gamble holds one of these four, and only one matches the winning ticket, so the probability is $\dfrac14.$

Thus, the correct answer is B.

24.

若圆弧 $AC$ 和 $BC$ 的圆心分别为 $B$ 和 $A$ ，则存在一个圆同时与圆弧 $AC$ 、圆弧 $BC$ 以及线段 $\overline{AB}$ 相切。若圆弧 $BC$ 的长度为 $12$ ，则这个圆的周长是多少？

If circular arcs $AC$ and $BC$ have centers at $B$ and $A,$ respectively, then there exists a circle tangent to both arc $AC$ and arc $BC,$ and to $\overline{AB}.$ If the length of arc $BC$ is $12,$ then what is the circumference of the circle?

$24$

$25$

$26$

$27$

$28$

知识点：圆幂相切圆弧

难度评级：2390

小提示：

两条圆弧的半径都是 $AB$ ，且 $C$ 到 $A$ 和 $B$ 的距离都为 $AB$ ，所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形。

Both arcs have radius $AB,$ and $C$ is at distance $AB$ from both $A$ and $B,$ so $\triangle ABC$ is equilateral

大提示：

在 $A$ 点使用幂定理，并用 $AD = \tfrac12 AB$ 求小圆半径 $r = \tfrac38 AB$ 。

Use Power of a Point at $A$ with $AD = \tfrac12 AB$ to find the small circle’s radius $r = \tfrac38 AB$

解答：

每条圆弧的半径都是 $AB$ ，且 $C$ 到 $A$ 和 $B$ 的距离都为 $AB$ ，所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形。因此圆弧 $BC$ 对应半径为 $AB$ 的圆上的 $60^\circ$ 圆心角，该大圆的整周长为 $6 \cdot 12 = 72$ 。

设小圆半径为 $r$ ，并在线段 $\overline{AB}$ 的中点 $D$ 处相切，其中 $AD = \tfrac12 AB$ 。由点幂定理， $AD^2 = AB(AB - 2r)$ ，所以 $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB\text{，}$ 从而 $2r = \tfrac34 AB$ ，因而 $r = \tfrac38 AB$ 。

周长之比等于半径之比，所以小圆的周长为 $\tfrac38 \cdot 72 = 27$ 。

因此，正确答案是 D。

Each arc has radius $AB,$ and $C$ is at distance $AB$ from both $A$ and $B,$ so $\triangle ABC$ is equilateral. Thus arc $BC$ subtends $60^\circ$ of a circle of radius $AB,$ whose full circumference is $6 \cdot 12 = 72.$

Let the small circle have radius $r$ and touch $\overline{AB}$ at its midpoint $D,$ where $AD = \tfrac12 AB.$ By Power of a Point, $AD^2 = AB(AB - 2r),$ so $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,$ giving $2r = \tfrac34 AB,$ hence $r = \tfrac38 AB.$

The circumferences are in the ratio of the radii, so the small circle’s circumference is $\tfrac38 \cdot 72 = 27.$

Thus, the correct answer is D.

25.

八个全等的等边三角形，每个颜色都不同，被用来构造一个正八面体。构造这个八面体有多少种可区分的方法？（如果两个着色八面体不能通过旋转变得完全一样，则称它们可区分。）

Eight congruent equilateral triangles, each of a different color, are used to construct a regular octahedron. How many distinguishable ways are there to construct the octahedron? (Two colored octahedrons are distinguishable if neither can be rotated to look just like the other.)

$210$

$560$

$840$

$1260$

$1680$

知识点：伯恩赛德引理排列对称性

难度评级：2440

小提示：

在考虑旋转之前，有 $8!$ 种方式把八种不同颜色放到八个面上。

There are $8!$ ways to place the eight distinct colors before accounting for rotations

大提示：

八面体的旋转群有 $24$ 个元素，并且颜色都不同时，每种着色的稳定子都是平凡的。

The rotation group of the octahedron has $24$ elements, and distinct colors give each arrangement a trivial stabilizer

解答：

将八种不同颜色分配给八个面共有 $8!$ 种方式。两个分配表示同一个八面体，当且仅当其中一个可以旋转成另一个。

正八面体的旋转群有 $24$ 个元素。因为八种颜色全都不同，没有非平凡旋转会固定一种着色，所以每个可区分的八面体恰好对应 $24$ 种分配。

因此可区分的八面体数量为 $\frac{8!}{24} = \frac{40320}{24} = 1680\text{。}$

因此，正确答案是 E。

There are $8!$ ways to assign the eight distinct colors to the eight faces. Two assignments give the same octahedron exactly when one is a rotation of the other.

The rotation group of a regular octahedron has $24$ elements. Because all eight colors are different, no nontrivial rotation fixes a coloring, so each distinguishable octahedron corresponds to exactly $24$ assignments.

Therefore the number of distinguishable octahedrons is $\frac{8!}{24} = \frac{40320}{24} = 1680.$

Thus, the correct answer is E.