Question

设 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 是多项式 $x^3 + kx + 1$ 的根。求下面这个和：

$\begin{aligned} &a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 \\ &\quad {}+ b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3 \end{aligned}\text{？}$

Let $a,$ $b,$ and $c$ be the roots of the polynomial $x^3 + kx + 1.$ What is the sum

$\begin{aligned} &a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 \\ &\quad {}+ b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3? \end{aligned}$

$-k$

$-k + 1$

$1$

$k - 1$

$k$

答案：E

知识点：韦达定理对称性（代数）

难度评级：2020

小提示：

由韦达定理， $a + b + c = 0$ ， $ab + bc + ca = k$ ，且 $abc = -1$ 。

By Vieta, $a + b + c = 0,$ $ab + bc + ca = k,$ and $abc = -1$

大提示：

分组为 $a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c)$ $+ c^2a^2(c + a)$ ，再用 $a + b = -c$ 。

Group as $a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c)$ $+ c^2a^2(c + a)$ and replace $a + b = -c$

解答：

由韦达定理， $a + b + c = 0$ ， $ab + bc + ca = k$ ，且 $abc = -1$ 。

将原和分组为 $\begin{aligned} &a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c) \\ &\quad {}+ c^2a^2(c + a)\text{。} \end{aligned}$ 因为 $a + b + c = 0$ ，所以 $a + b = -c$ 、 $b + c = -a$ 、 $c + a = -b$ 。

因此原和等于 $\begin{gathered} -a^2b^2 c - ab^2c^2 - a^2bc^2 \\ = -abc(ab + bc + ca) \\ = -(-1)(k) = k\text{。} \end{gathered}$

因此，正确答案是 E。

By Vieta’s formulas, $a + b + c = 0,$ $ab + bc + ca = k,$ and $abc = -1.$

Group the sum as $\begin{aligned} &a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c) \\ &\quad {}+ c^2a^2(c + a). \end{aligned}$ Since $a + b + c = 0,$ we have $a + b = -c,$ $b + c = -a,$ $c + a = -b.$

So the sum equals $\begin{gathered} -a^2b^2 c - ab^2c^2 - a^2bc^2 \\ = -abc(ab + bc + ca) \\ = -(-1)(k) = k. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12A 第 19 题

答案：E

难度评级：2020

小提示：

大提示：

解答：

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