Question

设 $N = 123456789101112\ldots4344$ 是把整数 $1$ 到 $44$ 按顺序一个接一个写下形成的 $79$ 位数。 $N$ 除以 $45$ 的余数是多少？

Let $N = 123456789101112\ldots4344$ be the $79$ -digit number that is formed by writing the integers from $1$ to $44$ in order, one after the other. What is the remainder when $N$ is divided by $45?$

$1$

$4$

$9$

$18$

$44$

答案：C

知识点：模运算整除性数字

难度评级：1910

小提示：

因为 $45 = 9 \cdot 5$ ，分别求 $N \bmod 5$ （最后一位）和 $N \bmod 9$ （数字和）

Since $45 = 9 \cdot 5,$ find $N \bmod 5$ (the last digit) and $N \bmod 9$ (the digit sum)

大提示：

数字和是 $9$ 的倍数，所以 $N \equiv 0 \pmod 9$ ；再结合模 $5$ 的余数

The digit sum is a multiple of $9,$ so $N \equiv 0 \pmod 9;$ combine with the residue mod $5$

解答：

$N$ 的最后一位是 $4$ ，所以 $N \equiv 4 \pmod 5$ 。对模 $9$ ，求数字和：数字 $1$ 到 $9$ 贡献它们自身的数字， $10$ 到 $44$ 的十位数字与个位数字合计为 $270$ ，这是 $9$ 的倍数，所以 $N \equiv 0 \pmod 9$ 。因此 $N - 9$ 是 $9$ 的倍数，且它的最后一位是 $5$ ，所以也是 $5$ 的倍数；于是 $N - 9$ 是 $45$ 的倍数。因此 $N \equiv 9 \pmod{45}$ 。

所以正确答案是 C。

The last digit of $N$ is $4,$ so $N \equiv 4 \pmod 5.$ For mod $9,$ sum the digits: the numbers $1$ – $9$ contribute their digits, the tens digits of $10$ – $44$ and the units digits together sum to $270,$ which is a multiple of $9,$ so $N \equiv 0 \pmod 9.$ The number $N - 9$ is then a multiple of $9,$ and its last digit is $5,$ so it is a multiple of $5;$ hence $N - 9$ is a multiple of $45.$ Therefore $N \equiv 9 \pmod{45}.$

Thus, the correct answer is C.

2017 AMC 12B 第 19 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题