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2023 AMC 12A 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

求下列方程所有解的乘积：log⁡7x2023⋅log⁡289x2023=log⁡2023x2023？ \begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023 \end{gathered}\text{？}
What is the product of all the solutions to the equation log⁡7x2023⋅log⁡289x2023=log⁡2023x2023? \begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023? \end{gathered}
(log⁡20237⋅log⁡2023289)2(\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289)^2
log⁡20237⋅log⁡2023289\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289
11
log⁡72023⋅log⁡2892023\log_7 2023\cdot\log_{289}2023
(log⁡72023⋅log⁡2892023)2(\log_7 2023\cdot\log_{289}2023)^2
答案：C
知识点：对数韦达定理
难度评级：2040
小提示：
换成以 20232023 为底，并设 t=log⁡2023xt=\log_{2023}x；注意 2023=7⋅1722023=7\cdot 17^2，所以 log⁡20237+log⁡2023289=1\log_{2023}7+\log_{2023}289=1。
Convert to base 20232023 and set t=log⁡2023x;t=\log_{2023}x; note 2023=7⋅172,2023=7\cdot 17^2, so log⁡20237+log⁡2023289=1\log_{2023}7+\log_{2023}289=1
大提示：
方程会变成关于 tt 的二次方程，且两个根之和为 00。
The equation becomes a quadratic in tt whose two roots sum to 00
解答：
设 a=log⁡20237a=\log_{2023}7，b=log⁡2023289b=\log_{2023}289。因为 2023=7⋅2892023=7\cdot 289，所以 a+b=1a+b=1。令 t=log⁡2023xt=\log_{2023}x，每个对数都变成倒数，方程化为 (1+t)=(a+t)(b+t)。 (1+t)=(a+t)(b+t)\text{。}
展开并使用 a+b=1a+b=1，一次项相消，留下 t2+(ab−1)=0t^2+(ab-1)=0。两个根满足 t1+t2=0t_1+t_2=0。
对应的解乘积为 x1x2=2023t1⋅2023t2x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2} =2023 t1+t2=2023^{\,t_1+t_2} =20230=1=2023^0=1。
所以正确答案是 C。
Let a=log⁡20237a=\log_{2023}7 and b=log⁡2023289.b=\log_{2023}289. Since 2023=7⋅289,2023=7\cdot 289, we have a+b=1.a+b=1. Writing t=log⁡2023x,t=\log_{2023}x, each logarithm becomes a reciprocal, and the equation turns into (1+t)=(a+t)(b+t). (1+t)=(a+t)(b+t).
Expanding and using a+b=1,a+b=1, the linear terms cancel, leaving t2+(ab−1)=0.t^2+(ab-1)=0. Its two roots satisfy t1+t2=0.t_1+t_2=0.
The corresponding solutions multiply to x1x2=2023t1⋅2023t2x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2} =2023 t1+t2=2023^{\,t_1+t_2} =20230=1.=2023^0=1.
Thus, the correct answer is C.
第 18 题#18
完整试卷
第 20 题#20

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