Question

求下列方程所有解的乘积： $\begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023 \end{gathered}\text{？}$

What is the product of all the solutions to the equation $\begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023? \end{gathered}$

$(\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289)^2$

$\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289$

$1$

$\log_7 2023\cdot\log_{289}2023$

$(\log_7 2023\cdot\log_{289}2023)^2$

答案：C

知识点：对数韦达定理

难度评级：2040

小提示：

换成以 $2023$ 为底，并设 $t=\log_{2023}x$ ；注意 $2023=7\cdot 17^2$ ，所以 $\log_{2023}7+\log_{2023}289=1$ 。

Convert to base $2023$ and set $t=\log_{2023}x;$ note $2023=7\cdot 17^2,$ so $\log_{2023}7+\log_{2023}289=1$

大提示：

方程会变成关于 $t$ 的二次方程，且两个根之和为 $0$ 。

The equation becomes a quadratic in $t$ whose two roots sum to $0$

解答：

设 $a=\log_{2023}7$ ， $b=\log_{2023}289$ 。因为 $2023=7\cdot 289$ ，所以 $a+b=1$ 。令 $t=\log_{2023}x$ ，每个对数都变成倒数，方程化为 $(1+t)=(a+t)(b+t)\text{。}$

展开并使用 $a+b=1$ ，一次项相消，留下 $t^2+(ab-1)=0$ 。两个根满足 $t_1+t_2=0$ 。

对应的解乘积为 $x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2}$ $=2023^{\,t_1+t_2}$ $=2023^0=1$ 。

所以正确答案是 C。

Let $a=\log_{2023}7$ and $b=\log_{2023}289.$ Since $2023=7\cdot 289,$ we have $a+b=1.$ Writing $t=\log_{2023}x,$ each logarithm becomes a reciprocal, and the equation turns into $(1+t)=(a+t)(b+t).$

Expanding and using $a+b=1,$ the linear terms cancel, leaving $t^2+(ab-1)=0.$ Its two roots satisfy $t_1+t_2=0.$

The corresponding solutions multiply to $x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2}$ $=2023^{\,t_1+t_2}$ $=2023^0=1.$

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12A 第 19 题

答案：C

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题