2016 AMC 12A 第 19 题
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19.
Jerry 从实数轴上的 出发。他投掷一枚公平硬币 次。若正面朝上，他向正方向移动 单位；若反面朝上，他向负方向移动 单位。他在这个过程中某一时刻到达 的概率为 ，其中 和 是互质正整数。 是多少？（例如，若投掷序列为 HTHHHHHH，他成功。）
Jerry starts at on the real number line. He tosses a fair coin times. When he gets heads, he moves unit in the positive direction; when he gets tails, he moves unit in the negative direction. The probability that he reaches at some time during this process is where and are relatively prime positive integers. What is (For example, he succeeds if his sequence of tosses is HTHHHHHH.)
小提示：
统计 个投掷序列中，累计位置到达 的序列数。
Count the toss sequences in which the running total reaches
大提示：
反面至多 次时一定到达 ；反面有 或 次时只有部分顺序可行。
With at most tails he always reaches with or tails only some orders work
解答：
统计 次投掷中累计总和达到过 的序列数。如果反面至多出现 次，他一定能达到 ，贡献 个序列。
恰有 次反面时，他只能在第 次或第 次投掷首次达到 。要在第 次达到，前四次必须全为正面，之后剩下的那个正面有 个可能位置。否则第 和第 次是正面，前四次中有一次反面，最后两次是反面，同样有 种可能。因此这一情形贡献 个序列。恰有 次反面时，只有 HHHHTTTT 可行，贡献 个序列。正面少于 次时不可能达到 。
所以有利序列共有 个，全部序列有 个，概率为 。因此 。
因此，正确答案是 B。
Count the sequences of tosses whose running total reaches With at most tails he certainly reaches contributing sequences.
With exactly tails, he can first reach on toss or toss Reaching it on toss requires four initial heads, after which the remaining head has possible positions. Otherwise, tosses and are heads, one of the first four tosses is a tail, and the last two are tails, again giving possibilities. Thus this case contributes With exactly tails, only HHHHTTTT works, giving He cannot reach with fewer than heads.
So there are favorable sequences out of a probability of Then
Thus, the correct answer is B.
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