Question

设 $E$ 为凸四边形 $ABCD$ 的两条对角线的交点， $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 分别为三角形 $ABE$ 、 $BCE$ 、 $CDE$ 、 $ADE$ 的外接圆圆心。则

Let $E$ be the point of intersection of the diagonals of convex quadrilateral $ABCD,$ and let $P,$ $Q,$ $R$ and $S$ be the centers of the circles circumscribing triangles $ABE,$ $BCE,$ $CDE$ and $ADE,$ respectively. Then

$PQRS$ 是平行四边形

$PQRS$ is a parallelogram

$PQRS$ 是平行四边形，当且仅当 $ABCD$ 是菱形

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rhombus

$PQRS$ 是平行四边形，当且仅当 $ABCD$ 是矩形

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rectangle

$PQRS$ 是平行四边形，当且仅当 $ABCD$ 是平行四边形

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a parallelogram

以上说法均不正确

none of the above are true

答案：A

知识点：外接圆、外心与外接圆半径垂直平分线平行四边形

难度评级：2220

小提示：

两个相邻的外心都位于其对应三角形公共边的垂直平分线上

Two adjacent circumcenters lie on the perpendicular bisector of the side shared by their triangles

大提示：

利用 $A$ 、 $E$ 、 $C$ 共线且 $B$ 、 $E$ 、 $D$ 共线这一事实

Use the fact that $A,$ $E,$ $C$ are collinear and $B,$ $E,$ $D$ are collinear

解答：

$P$ 和 $Q$ 都在线段 $BE$ 的垂直平分线上，而 $R$ 和 $S$ 都在线段 $DE$ 的垂直平分线上。由于 $B$ 、 $E$ 、 $D$ 共线，这两条垂直平分线平行，所以 $PQ\parallel RS$ 。同理， $Q$ 、 $R$ 在线段 $CE$ 的垂直平分线上， $S$ 、 $P$ 在线段 $AE$ 的垂直平分线上。由于 $A$ 、 $E$ 、 $C$ 共线，所以 $QR\parallel SP$ 。因此 $PQRS$ 始终是平行四边形。

因此，正确答案是 A。

Both $P$ and $Q$ lie on the perpendicular bisector of $BE,$ while both $R$ and $S$ lie on the perpendicular bisector of $DE.$ Since $B,$ $E,$ $D$ are collinear, these bisectors are parallel, so $PQ\parallel RS.$ Likewise, $Q,$ $R$ lie on the perpendicular bisector of $CE,$ and $S,$ $P$ lie on that of $AE.$ Since $A,$ $E,$ $C$ are collinear, $QR\parallel SP.$ Therefore $PQRS$ is always a parallelogram.

Therefore, the correct answer is A.

1977 AMC 12 第 19 题

答案：A

难度评级：2220

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题