Question

在 $\triangle ABC$ 中， $M$ 是边 $BC$ 的中点， $AN$ 平分 $\angle BAC$ ， $BN\perp AN$ ， $\theta$ 是 $\angle BAC$ 的度数。若边 $AB$ 和 $AC$ 的长度分别为 $14$ 和 $19$ ，则 $MN$ 的长度等于

In $\triangle ABC,$ $M$ is the midpoint of side $BC,$ $AN$ bisects $\angle BAC,$ $BN\perp AN,$ and $\theta$ is the measure of $\angle BAC.$ If sides $AB$ and $AC$ have lengths $14$ and $19,$ respectively, then length $MN$ equals

$2$

$\frac52$

$\frac52-\sin\theta$

$\frac52-\frac12\sin\theta$

$\frac52-\frac12\sin\left(\frac\theta2\right)$

答案：B

知识点：角平分线反射（几何）中点

难度评级：1860

小提示：

延长 $BN$ 过 $N$ ，使它与 $AC$ 相交

Extend $BN$ through $N$ to meet $AC$

大提示：

利用角平分线两侧的全等关系，再应用中位线定理

Use congruence across the angle bisector, then apply the midpoint theorem

解答：

延长 $BN$ ，与 $AC$ 相交于 $E$ 。直角三角形 $ABN$ 与 $AEN$ 全等，因为它们共有 $AN$ ，且该线平分顶点 $A$ 处的角。因此 $BE$ 被 $N$ 平分，且 $AE=AB=14$ 。由于 $AC=19$ ，所以 $EC=5$ 。在三角形 $BEC$ 中，点 $N$ 和 $M$ 分别是 $BE$ 和 $BC$ 的中点，因此 $MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}$ 。

所以正确答案是 B。

Extend $BN$ to meet $AC$ at $E.$ The right triangles $ABN$ and $AEN$ are congruent because $AN$ is common and bisects the angle at $A.$ Hence $BE$ is bisected by $N$ and $AE=AB=14.$ Since $AC=19,$ $EC=5.$ In triangle $BEC,$ points $N$ and $M$ are the midpoints of $BE$ and $BC,$ so $MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

1981 AMC 12 第 19 题

答案：B

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题