Question

直角三角形的两条直角边为 $a$ 和 $b$ ，斜边为 $c$ 。从直角顶点向斜边作垂线，将 $c$ 分成线段 $r$ 和 $s$ ，它们分别与 $a$ 和 $b$ 相邻。若 $a:b=1:3$ ，则 $r$ 与 $s$ 之比为：

The sides of a right triangle are $a$ and $b$ and the hypotenuse is $c.$ A perpendicular from the vertex divides $c$ into segments $r$ and $s,$ adjacent respectively to $a$ and $b.$ If $a:b=1:3,$ then the ratio of $r$ to $s$ is:

$1:3$

$1:9$

$1:10$

$3:10$

$1:\sqrt{10}$

答案：B

知识点：直角三角形相似高线

难度评级：1360

小提示：

使用射影关系 $a^2=cr$ 和 $b^2=cs$

Use the projection relations $a^2=cr$ and $b^2=cs$

大提示：

将两个射影方程相除，用 $\frac{a}{b}$ 表示 $\frac{r}{s}$

Divide the two projection equations to express $\frac{r}{s}$ in terms of $\frac{a}{b}$

解答：

由斜边高所形成的相似三角形可得 $a^2=cr,\qquad b^2=cs\text{。}$ 因此 $\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19\text{。}$

所以正确答案为 B。

Similarity from the altitude-to-hypotenuse construction gives $a^2=cr,\qquad b^2=cs.$ Therefore $\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19.$

Thus, the correct answer is B.

1958 AMC 12 第 19 题

答案：B

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题