1965 AMC 12 第 19 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1965 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

若 $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ 能被 $x^3+3x^2+9x+3$ 整除，则 $(p+q)r$ 的值为：

If $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ is exactly divisible by $x^3+3x^2+9x+3,$ the value of $(p+q)r$ is:

$-18$

$12$

$15$

$27$

$45$

答案：C

知识点：多项式整除性代数变形

难度评级：1830

小提示：

商必须是首一一次式

The quotient must be monic and linear

大提示：

减去 $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ 并比较系数

Subtract $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ and compare coefficients

解答：

由首项可知商必为 $x+1$ 。展开得 $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $6p=12,\ 4q=12,\ r=3$ ，所以 $p=2,\ q=3$ ，且 $(p+q)r=15$ 。

因此，正确答案是 C。

The leading terms force quotient $x+1.$ Expanding, $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}$ Thus $6p=12,\ 4q=12,\ r=3,$ so $p=2,\ q=3$ and $(p+q)r=15.$

Therefore, the correct answer is C.

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