Question

将 $10$ 美元兑换成一角硬币和二角五分硬币，且每种硬币至少使用一枚。设兑换方法数为 $n$ ，则 $n$ 等于：

Let $n$ be the number of ways that $10$ dollars can be changed into dimes and quarters, with at least one of each coin being used. Then $n$ equals:

$40$

$38$

$21$

$20$

$19$

答案：E

知识点：丢番图方程区间内整数计数整除性

难度评级：1710

小提示：

以美分为单位，求解 $10d+25q=1000$

In cents, solve $10d+25q=1000$

大提示：

利用奇偶性写成 $q=2k$ ，再要求两种硬币的枚数均为正数

Use parity to write $q=2k$ , then enforce positive coin counts

解答：

方程 $10d+25q=1000$ 化简为 $2d+5q=200$ 。因此 $q$ 必须为偶数；令 $q=2k$ ，则 $d=100-5k$ 。由两者均为正数可得 $k=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $19$ ，所以共有 $19$ 种方法。

因此，正确答案是 E。

The equation $10d+25q=1000$ reduces to $2d+5q=200.$ Thus $q$ must be even; write $q=2k,$ giving $d=100-5k.$ Positivity requires $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $19,$ so there are $19$ ways.

Therefore, the correct answer is E.

1968 AMC 12 第 19 题

答案：E

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题