Question

设 $C_1$ 、 $C_2$ 、 $C_3$ 是圆心同侧的三条平行弦。 $C_1$ 与 $C_2$ 之间的距离等于 $C_2$ 与 $C_3$ 之间的距离。三条弦的长度分别为 $20$ 、 $16$ 和 $8$ 。该圆的半径是

Let $C_1,$ $C_2,$ and $C_3$ be three parallel chords of a circle on the same side of the center. The distance between $C_1$ and $C_2$ is the same as the distance between $C_2$ and $C_3.$ The lengths of the chords are $20,$ $16,$ and $8.$ The radius of the circle is

$12$

$4\sqrt7$

$\frac{5\sqrt{65}}3$

$\frac{5\sqrt{22}}2$

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：D

知识点：弦勾股定理方程组

难度评级：2100

小提示：

从圆心向弦作垂线，该垂线平分弦

A perpendicular from the center bisects each chord

大提示：

设最近的弦到圆心的距离为 $u$ ，相邻弦之间的共同间距为 $v$

Let the nearest chord be distance $u$ from the center and the common spacing be $v$

解答：

设半径为 $r$ ，长为 $20$ 的弦到圆心的距离为 $u$ ，相邻弦之间的共同间距为 $v$ 。则 $\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2 \end{aligned}\text{。}$ 相邻两式依次相减，得到 $2uv+v^2=36$ 和 $2uv+3v^2=48$ ，所以 $v^2=6$ ，且 $u=\frac{15}{\sqrt6}$ 。因此 $r^2=u^2+100=\frac{275}{2}\text{，}$ 从而 $r=\frac{5\sqrt{22}}{2}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $r$ be the radius, $u$ the distance to the $20$ -unit chord, and $v$ the common spacing. Then $\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}$ Consecutive subtraction gives $2uv+v^2=36$ and $2uv+3v^2=48,$ so $v^2=6$ and $u=\frac{15}{\sqrt6}.$ Hence $r^2=u^2+100=\frac{275}{2},$ and $r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

1980 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题