Question

Sean $C_1,$ $C_2,$ y $C_3$ tres cuerdas paralelas de un círculo situadas al mismo lado del centro. La distancia entre $C_1$ y $C_2$ es igual a la distancia entre $C_2$ y $C_3.$ Las longitudes de las cuerdas son $20,$ $16,$ y $8.$ El radio del círculo es

Let $C_1,$ $C_2,$ and $C_3$ be three parallel chords of a circle on the same side of the center. The distance between $C_1$ and $C_2$ is the same as the distance between $C_2$ and $C_3.$ The lengths of the chords are $20,$ $16,$ and $8.$ The radius of the circle is

$12$

$4\sqrt7$

$\frac{5\sqrt{65}}3$

$\frac{5\sqrt{22}}2$

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: D

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Una perpendicular desde el centro biseca cada cuerda

A perpendicular from the center bisects each chord

Pista grande:

Sea $u$ la distancia desde el centro hasta la cuerda más cercana y $v$ el espaciamiento común

Let the nearest chord be distance $u$ from the center and the common spacing be $v$

Solución:

Sean $r$ el radio, $u$ la distancia a la cuerda de longitud $20$ y $v$ el espaciamiento común. Entonces $\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}$ Las restas consecutivas dan $2uv+v^2=36$ y $2uv+3v^2=48,$ de modo que $v^2=6$ y $u=\frac{15}{\sqrt6}.$ Por lo tanto, $r^2=u^2+100=\frac{275}{2},$ y $r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $r$ be the radius, $u$ the distance to the $20$ -unit chord, and $v$ the common spacing. Then $\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}$ Consecutive subtraction gives $2uv+v^2=36$ and $2uv+3v^2=48,$ so $v^2=6$ and $u=\frac{15}{\sqrt6}.$ Hence $r^2=u^2+100=\frac{275}{2},$ and $r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

1980 AMC 12 Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años