1980 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

El mayor número entero no negativo tal que siete veces el número es menor que $100$ es

The largest whole number such that seven times the number is less than $100$ is

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Traduce «siete veces el número es menor que $100$ » a una desigualdad

Translate “seven times the number is less than $100$ ” into an inequality

Pista grande:

Ubica $\frac{100}{7}$ entre dos enteros no negativos consecutivos

Locate $\frac{100}{7}$ between two consecutive whole numbers

Solución:

El número debe ser menor que $\frac{100}{7}=14+\frac{2}{7}.$ El mayor entero no negativo menor que este valor es $14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The number must be less than $\frac{100}{7}=14+\frac{2}{7}.$ The largest whole number below this value is $14.$

Therefore, the correct answer is C.

2.

El grado de $(x^2+1)^4(x^3+1)^3$ como polinomio en $x$ es

The degree of $(x^2+1)^4(x^3+1)^3$ as a polynomial in $x$ is

$5$

$7$

$12$

$17$

$72$

Respuesta: D

Conceptos:polinomio exponente

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Halla la mayor potencia que aporta cada factor entre paréntesis

Find the highest power contributed by each parenthesized factor

Pista grande:

Los grados se suman al multiplicar polinomios no nulos

Degrees add when nonzero polynomials are multiplied

Solución:

El primer factor tiene grado $2\cdot4=8,$ y el segundo tiene grado $3\cdot3=9.$ Por tanto, su producto tiene grado $8+9=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first factor has degree $2\cdot4=8,$ and the second has degree $3\cdot3=9.$ Their product therefore has degree $8+9=17.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

Si la razón de $2x-y$ a $x+y$ es $\frac23,$ ¿cuál es la razón de $x$ a $y$ ?

If the ratio of $2x-y$ to $x+y$ is $\frac23,$ what is the ratio of $x$ to $y?$

$\frac15$

$\frac45$

$1$

$\frac65$

$\frac54$

Respuesta: E

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Escribe la razón dada como una igualdad entre dos fracciones

Write the stated ratio as an equation of two fractions

Pista grande:

Multiplica en cruz y agrupa por separado los términos con $x$ y con $y$

Cross-multiply and collect the $x$ -terms and $y$ -terms separately

Solución:

La condición da $\frac{2x-y}{x+y}=\frac23.$ Entonces $6x-3y=2x+2y,$ de modo que $4x=5y$ y $\frac{x}{y}=\frac{5}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition gives $\frac{2x-y}{x+y}=\frac23.$ Thus $6x-3y=2x+2y,$ so $4x=5y$ and $\frac{x}{y}=\frac{5}{4}.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

En la figura adjunta, $CDE$ es un triángulo equilátero, y $ABCD$ y $DEFG$ son cuadrados. La medida de $\angle GDA$ es

In the adjoining figure, $CDE$ is an equilateral triangle and $ABCD$ and $DEFG$ are squares. The measure of $\angle GDA$ is

$90^\circ$

$105^\circ$

$120^\circ$

$135^\circ$

$150^\circ$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)triángulo equilátero suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Identifica los tres ángulos conocidos en $D$

Identify the three known angles at $D$

Pista grande:

Usa el ángulo completo de $360^\circ$ alrededor del punto $D$

Use the full $360^\circ$ angle around point $D$

Solución:

En $D,$ los dos ángulos de los cuadrados miden $90^\circ$ cada uno y el ángulo del triángulo equilátero mide $60^\circ.$ Por tanto, $\begin{aligned} \angle GDA &=360^\circ-90^\circ\\ &\quad-60^\circ-90^\circ\\ &=120^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At $D,$ the two square angles are $90^\circ$ each and the equilateral-triangle angle is $60^\circ.$ Hence $\begin{aligned} \angle GDA &=360^\circ-90^\circ\\ &\quad-60^\circ-90^\circ\\ &=120^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

5.

Si $AB$ y $CD$ son diámetros perpendiculares del círculo $Q,$ $P$ en $AQ,$ y $\angle QPC=60^\circ,$ entonces la longitud de $PQ$ dividida entre la longitud de $AQ$ es

If $AB$ and $CD$ are perpendicular diameters of circle $Q,$ $P$ in $AQ,$ and $\angle QPC=60^\circ,$ then the length of $PQ$ divided by the length of $AQ$ is

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3}{3}$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac12$

$\frac23$

Respuesta: B

Conceptos:círculo triángulo rectángulo triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Usa los diámetros perpendiculares para identificar un ángulo recto en $\triangle PQC$

Use the perpendicular diameters to identify a right angle in $\triangle PQC$

Pista grande:

Relaciona los catetos corto y largo del triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ resultante

Relate the short and long legs of the resulting $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

Solución:

El triángulo $PQC$ es rectángulo en $Q$ y tiene $\angle P=60^\circ,$ así que es un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ . Como $QC=AQ,$ $\frac{PQ}{AQ}=\frac{PQ}{QC}=\frac1{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Triangle $PQC$ is right at $Q$ and has $\angle P=60^\circ,$ so it is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle. Since $QC=AQ,$ $\frac{PQ}{AQ}=\frac{PQ}{QC}=\frac1{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}.$

Therefore, the correct answer is B.

6.

Un número positivo $x$ satisface la desigualdad $\sqrt x\lt2x$ si y solo si

A positive number $x$ satisfies the inequality $\sqrt x\lt2x$ if and only if

$x\gt\frac14$

$x\gt2$

$x\gt4$

$x\lt\frac14$

$x\lt4$

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad radical

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Usa el hecho de que ambos lados son positivos

Use the fact that both sides are positive

Pista grande:

Divide entre $\sqrt x$ antes de elevar al cuadrado o aislar $x$

Divide by $\sqrt x$ before squaring or isolating $x$

Solución:

Como $x\gt0,$ dividir entre $\sqrt x$ conserva la desigualdad: $1\lt2\sqrt x.$ Así, $\sqrt x\gt\frac{1}{2},$ lo cual equivale a $x\gt\frac{1}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $x\gt0,$ division by $\sqrt x$ preserves the inequality: $1\lt2\sqrt x.$ Thus $\sqrt x\gt\frac{1}{2},$ which is equivalent to $x\gt\frac{1}{4}.$

Therefore, the correct answer is A.

7.

Los lados $AB,$ $BC,$ $CD,$ y $DA$ del polígono convexo $ABCD$ miden $3,$ $4,$ $12,$ y $13,$ respectivamente; además, $\angle CBA$ es un ángulo recto. El área del cuadrilátero es

Sides $AB,$ $BC,$ $CD,$ and $DA$ of convex polygon $ABCD$ have lengths $3,$ $4,$ $12,$ and $13,$ respectively; and $\angle CBA$ is a right angle. The area of the quadrilateral is

$32$

$36$

$39$

$42$

$48$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras triángulo rectángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Traza la diagonal $AC$ y halla su longitud usando $\triangle ABC$

Draw diagonal $AC$ and find its length from $\triangle ABC$

Pista grande:

Reconoce un segundo triángulo rectángulo a partir de las longitudes $5,$ $12,$ y $13$

Recognize a second right triangle using the side lengths $5,$ $12,$ and $13$

Solución:

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ , así que $AC=5$ y su área es $6.$ Como $5^2+12^2=13^2,$ el triángulo $ACD$ es rectángulo en $C$ y tiene área $(\frac{1}{2})(5)(12)=30.$ El área del cuadrilátero es $6+30=36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Triangle $ABC$ is a $3$ - $4$ - $5$ right triangle, so $AC=5$ and its area is $6.$ Since $5^2+12^2=13^2,$ triangle $ACD$ is right at $C$ and has area $(\frac{1}{2})(5)(12)=30.$ The quadrilateral’s area is $6+30=36.$

Therefore, the correct answer is B.

8.

¿Cuántos pares $(a,b)$ de números reales no nulos satisfacen la ecuación $\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}?$

How many pairs $(a,b)$ of nonzero real numbers satisfy the equation $\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}?$

ninguno

none

$1$

$2$

un par para cada $b\ne0$

one pair for each $b\ne0$

dos pares para cada $b\ne0$

two pairs for each $b\ne0$

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Elimina los denominadores, teniendo en cuenta que $a,$ $b,$ y $a+b$ deben ser no nulos

Clear the denominators, noting that $a,$ $b,$ and $a+b$ must be nonzero

Pista grande:

Considera la cuadrática homogénea resultante como una ecuación en la razón $\frac{a}{b}$

Treat the resulting homogeneous quadratic as an equation in the ratio $\frac{a}{b}$

Solución:

Al eliminar los denominadores se obtiene $(a+b)^2=ab,$ o bien $a^2+ab+b^2=0.$ Como $b\ne0,$ sea $t=\frac{a}{b}.$ Entonces $t^2+t+1=0,$ cuyo discriminante es $1-4=-3.$ Por lo tanto, no hay pares reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Clearing denominators gives $(a+b)^2=ab,$ or $a^2+ab+b^2=0.$ Since $b\ne0,$ let $t=\frac{a}{b}.$ Then $t^2+t+1=0,$ whose discriminant is $1-4=-3.$ Thus there are no real pairs.

Therefore, the correct answer is A.

9.

Un hombre camina $x$ millas hacia el oeste, gira $150^\circ$ a su izquierda y camina $3$ millas en la nueva dirección. Si termina en un punto situado a $\sqrt3$ millas de su punto de partida, entonces $x$ es

A man walks $x$ miles due west, turns $150^\circ$ to his left and walks $3$ miles in the new direction. If he finishes at a point $\sqrt3$ miles from his starting point, then $x$ is

$\sqrt3$

$2\sqrt3$

$\frac32$

$3$

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: E

Conceptos:vector fórmula de la distancia cuadrática análisis por casos

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Descompón el segundo desplazamiento en componentes horizontal y vertical

Resolve the second walk into horizontal and vertical components

Pista grande:

La ecuación de distancia es cuadrática en $x$ ; comprueba si sus dos raíces positivas son válidas

The distance equation is quadratic in $x$ ; check whether both positive roots are valid

Solución:

Toma el este como dirección horizontal positiva. Después del giro, el desplazamiento de $3$ millas tiene componentes $(\frac{3\sqrt3}{2},-\frac{3}{2}).$ Por lo tanto, $\left(\frac{3\sqrt3}{2}-x\right)^2 +\left(\frac32\right)^2=3.$ De aquí, $\frac{3\sqrt3}{2}-x=\pm\frac{\sqrt3}{2},$ lo que da $x=\sqrt3$ o $x=2\sqrt3.$ El valor no es único.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take east as the positive horizontal direction. After the turn, the $3$ -mile displacement has components $(\frac{3\sqrt3}{2},-\frac{3}{2}).$ Therefore $\left(\frac{3\sqrt3}{2}-x\right)^2 +\left(\frac32\right)^2=3.$ Hence $\frac{3\sqrt3}{2}-x=\pm\frac{\sqrt3}{2},$ giving $x=\sqrt3$ or $x=2\sqrt3.$ The value is not unique.

Therefore, the correct answer is E.

10.

Los números de dientes de tres engranajes circulares acoplados $A,$ $B,$ $C$ son $x,$ $y,$ $z,$ respectivamente. (Los dientes de todos los engranajes tienen el mismo tamaño y están espaciados regularmente como en la figura). Las velocidades angulares, en revoluciones por minuto, de $A,$ $B,$ $C$ están en la proporción

The number of teeth in three meshed circular gears $A,$ $B,$ $C$ are $x,$ $y,$ $z,$ respectively. (The teeth on all gears are the same size and regularly spaced as in the figure.) The angular speeds, in revolutions per minute, of $A,$ $B,$ $C$ are in the proportion

$x:y:z$

$z:y:x$

$y:z:x$

$yz:xz:xy$

$xz:yx:zy$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción tasa

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Los dientes acoplados tienen la misma rapidez tangencial en sus puntos de contacto

Meshed teeth have the same tangential speed at their points of contact

Pista grande:

La velocidad angular es inversamente proporcional a la circunferencia y, por tanto, al número de dientes

Angular speed is inversely proportional to circumference and hence to the number of teeth

Solución:

Las circunferencias de los engranajes son proporcionales a $x,$ $y,$ y $z,$ mientras que sus velocidades tangenciales tienen la misma magnitud. Por lo tanto, sus velocidades angulares son proporcionales a $\frac1x:\frac1y:\frac1z.$ Al multiplicar los tres términos por $xyz$ se obtiene $yz:xz:xy.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The gears’ circumferences are proportional to $x,$ $y,$ and $z,$ while their tangential speeds have equal magnitude. Their angular speeds are therefore proportional to $\frac1x:\frac1y:\frac1z.$ Multiplying all three terms by $xyz$ gives $yz:xz:xy.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

Si la suma de los primeros $10$ términos y la suma de los primeros $100$ términos de una progresión aritmética dada son $100$ y $10,$ respectivamente, entonces la suma de los primeros $110$ términos es

If the sum of the first $10$ terms and the sum of the first $100$ terms of a given arithmetic progression are $100$ and $10,$ respectively, then the sum of the first $110$ terms is

$90$

$-90$

$110$

$-110$

$-100$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Escribe $S_n=\frac n2(2a+(n-1)d)$

Write $S_n=\frac n2(2a+(n-1)d)$

Pista grande:

Usa las dos sumas parciales conocidas para hallar la expresión $2a+109d$

Use the two known partial sums to find the expression $2a+109d$

Solución:

Las dos sumas dadas producen $\begin{aligned} 2a+9d&=20,\\ 2a+99d&=\frac15. \end{aligned}$ Al restar se obtiene $90d=-\frac{99}{5},$ así que $d=-\frac{11}{50}$ y $2a=\frac{1099}{50}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} S_{110}&=55(2a+109d)\\ &=55(-2)\\ &=-110. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two given sums yield $\begin{aligned} 2a+9d&=20,\\ 2a+99d&=\frac15. \end{aligned}$ Subtracting gives $90d=-\frac{99}{5},$ so $d=-\frac{11}{50}$ and $2a=\frac{1099}{50}.$ Therefore $\begin{aligned} S_{110}&=55(2a+109d)\\ &=55(-2)\\ &=-110. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

12.

Las ecuaciones de $L_1$ y $L_2$ son $y=mx$ y $y=nx,$ respectivamente. Supón que $L_1$ forma con la horizontal un ángulo dos veces mayor (medido en sentido antihorario desde el eje $x$ positivo) que el de $L_2,$ y que $L_1$ tiene $4$ veces la pendiente de $L_2.$ Si $L_1$ no es horizontal, entonces $mn$ es

The equations of $L_1$ and $L_2$ are $y=mx$ and $y=nx,$ respectively. Suppose $L_1$ makes twice as large an angle with the horizontal (measured counterclockwise from the positive $x$ -axis) as does $L_2,$ and that $L_1$ has $4$ times the slope of $L_2.$ If $L_1$ is not horizontal, then $mn$ is

$\frac{\sqrt2}{2}$

$-\frac{\sqrt2}{2}$

$2$

$-2$

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:pendiente identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea $\theta$ el ángulo de inclinación de $L_2$

Let the angle of inclination of $L_2$ be $\theta$

Pista grande:

Sustituye $m=4n$ en $\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

Substitute $m=4n$ into $\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

Solución:

Sea $\tan\theta=n.$ Entonces $m=\tan(2\theta)$ y también $m=4n.$ Por lo tanto, $4n=\frac{2n}{1-n^2}.$ La condición de que no sea horizontal da $n\ne0,$ así que $2(1-n^2)=1,$ o $n^2=\frac{1}{2}.$ Por consiguiente, $mn=4n^2=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\tan\theta=n.$ Then $m=\tan(2\theta)$ and also $m=4n.$ Hence $4n=\frac{2n}{1-n^2}.$ The nonhorizontal condition gives $n\ne0,$ so $2(1-n^2)=1,$ or $n^2=\frac{1}{2}.$ Thus $mn=4n^2=2.$

Therefore, the correct answer is C.

13.

Un insecto (de tamaño despreciable) parte del origen en el plano de coordenadas. Primero se mueve $1$ unidad hacia la derecha hasta $(1,0).$ Luego gira $90^\circ$ en sentido antihorario y recorre $\frac12$ unidad hasta $(1,\frac12).$ Si continúa de esta forma, girando cada vez $90^\circ$ en sentido antihorario y recorriendo la mitad de la distancia del movimiento anterior, ¿a cuál de los siguientes puntos se acercará más?

A bug (of negligible size) starts at the origin on the coordinate plane. First it moves $1$ unit right to $(1,0).$ Then it makes a $90^\circ$ turn counterclockwise and travels $\frac12$ a unit to $(1,\frac12).$ If it continues in this fashion, each time making a $90^\circ$ turn counterclockwise and traveling half as far as in the previous move, to which of the following points will it come closest?

$(\frac23,\frac23)$

$(\frac45,\frac25)$

$(\frac23,\frac45)$

$(\frac23,\frac13)$

$(\frac25,\frac45)$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica número complejo sumatoria

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Representa un giro de $90^\circ$ en sentido antihorario mediante la multiplicación por $i$

Represent a $90^\circ$ counterclockwise turn by multiplication by $i$

Pista grande:

Los vectores de desplazamiento forman una serie geométrica infinita con razón $\frac{i}{2}$

The displacement vectors form an infinite geometric series with ratio $\frac{i}{2}$

Solución:

Como números complejos, los vectores de desplazamiento sucesivos son $1,\ \frac i2,\ \left(\frac i2\right)^2,\ldots.$ Su suma es $\frac1{1-\frac{i}{2}} =\frac{1+\frac{i}{2}}{1+\frac{1}{4}} =\frac45+\frac25i.$ Así, el insecto se aproxima a $(\frac{4}{5},\frac{2}{5}).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

As complex numbers, the successive displacement vectors are $1,\ \frac i2,\ \left(\frac i2\right)^2,\ldots.$ Their sum is $\frac1{1-\frac{i}{2}} =\frac{1+\frac{i}{2}}{1+\frac{1}{4}} =\frac45+\frac25i.$ Thus the bug approaches $(\frac{4}{5},\frac{2}{5}).$

Therefore, the correct answer is B.

14.

Si $c$ es una constante y la función $f$ definida por $\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32, \end{gathered}$ satisface $f(f(x))=x$ para todos los números reales $x$ excepto $-\frac32,$ entonces $c$ es

If $c$ is a constant and the function $f$ defined by $\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32, \end{gathered}$ satisfies $f(f(x))=x$ for all real numbers $x$ except $-\frac32,$ then $c$ is

$-3$

$-\frac32$

$\frac32$

$3$

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: A

Conceptos:función ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Calcula $f(f(x))$ como una sola expresión racional

Compute $f(f(x))$ as a single rational expression

Pista grande:

Para que el resultado sea idéntico a $x$ , compara el coeficiente de $x$ en el denominador

For the result to equal $x$ identically, compare the coefficient of $x$ in the denominator

Solución:

La composición directa da $f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}.$ Para que sea idéntica a $x,$ el denominador debe ser la constante $c^2.$ Por tanto, $2c+6=0$ y $c^2=9,$ condiciones que juntas dan $c=-3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Direct composition gives $f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}.$ For this to equal $x$ identically, the denominator must be the constant $c^2.$ Thus $2c+6=0$ and $c^2=9,$ both of which give $c=-3.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

Una tienda fija el precio de un artículo en dólares y centavos de modo que, al añadir un impuesto sobre las ventas del $4\%$ , no se necesita redondear porque el resultado es exactamente $n$ dólares, donde $n$ es un entero positivo. El menor valor de $n$ es

A store prices an item in dollars and cents so that when $4\%$ sales tax is added no rounding is necessary because the result is exactly $n$ dollars, where $n$ is a positive integer. The smallest value of $n$ is

$1$

$13$

$25$

$26$

$100$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje divisibilidad dinero

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea el precio antes de impuestos un número entero $p$ de centavos

Let the untaxed price be an integer number $p$ of cents

Pista grande:

Reduce la ecuación $1.04p=100n$ a una condición de divisibilidad sobre $n$

Reduce the equation $1.04p=100n$ to a divisibility condition on $n$

Solución:

Sea el precio $p$ centavos. Entonces $\frac{104}{100}p=100n,$ de modo que $13p=1250n.$ Como $13$ y $1250$ son primos relativos, $13$ debe dividir a $n.$ La menor posibilidad positiva es $n=13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the price be $p$ cents. Then $\frac{104}{100}p=100n,$ so $13p=1250n.$ Since $13$ and $1250$ are relatively prime, $13$ must divide $n.$ The smallest positive possibility is $n=13.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

Cuatro de los ocho vértices de un cubo son vértices de un tetraedro regular. Halla la razón entre el área superficial del cubo y el área superficial del tetraedro.

Four of the eight vertices of a cube are vertices of a regular tetrahedron. Find the ratio of the surface area of the cube to the surface area of the tetrahedron.

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt{\frac32}$

$\frac2{\sqrt3}$

$2$

Respuesta: B

Conceptos:geometría del cubo área de superficie triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Si la arista del cubo es $s,$ cada arista del tetraedro es la diagonal de una cara

If the cube edge is $s,$ each tetrahedron edge is a face diagonal

Pista grande:

Compara $6s^2$ con cuatro triángulos equiláteros de lado $s\sqrt2$

Compare $6s^2$ with four equilateral triangles of side $s\sqrt2$

Solución:

Sea $s$ la arista del cubo. Cada arista del tetraedro es la diagonal de una cara del cubo, por lo que mide $s\sqrt2.$ El área superficial del tetraedro es $4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2.$ El área superficial del cubo es $6s^2,$ así que la razón es $\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the cube edge be $s.$ Each tetrahedron edge is a cube face diagonal, so it has length $s\sqrt2.$ The tetrahedron’s surface area is $4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2.$ The cube’s surface area is $6s^2,$ so the ratio is $\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

Dado que $i^2=-1,$ ¿para cuántos enteros $n$ es $(n+i)^4$ un entero?

Given that $i^2=-1,$ for how many integers $n$ is $(n+i)^4$ an integer?

ninguno

none

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo teorema del binomio propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Expande $(n+i)^4$ y aísla su parte imaginaria

Expand $(n+i)^4$ and isolate its imaginary part

Pista grande:

Un entero tiene parte imaginaria cero; resuelve la factorización cúbica resultante

An integer has imaginary part zero, so solve the resulting cubic factorization

Solución:

La expansión da $\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i. \end{aligned}$ La parte imaginaria se anula exactamente cuando $n=0,$ $n=1,$ o $n=-1.$ Para cada uno de estos tres enteros, la parte real es un entero, así que hay $3$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expansion gives $\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i. \end{aligned}$ The imaginary part vanishes exactly when $n=0,$ $n=1,$ or $n=-1.$ For each of these three integers the real part is an integer, so there are $3$ values.

Therefore, the correct answer is D.

18.

Si $b\gt1,$ $\sin x\gt0,$ $\cos x\gt0$ y $\log_b\sin x=a,$ entonces $\log_b\cos x$ es igual a

If $b\gt1,$ $\sin x\gt0,$ $\cos x\gt0$ and $\log_b\sin x=a,$ then $\log_b\cos x$ equals

$2\log_b(1-b^{\frac{a}{2}})$

$\sqrt{1-a^2}$

$b^{a^2}$

$\frac12\log_b(1-b^{2a})$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo identidad trigonométrica radical

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Convierte $\log_b\sin x=a$ en una ecuación exponencial

Convert $\log_b\sin x=a$ into an exponential equation

Pista grande:

Usa $\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$ y la positividad de $\cos x$

Use $\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$ and the positivity of $\cos x$

Solución:

Tenemos $\sin x=b^a,$ por lo que $\cos x=\sqrt{1-b^{2a}}.$ Por consiguiente, $\log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\sin x=b^a,$ so $\cos x=\sqrt{1-b^{2a}}.$ Therefore $\log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).$

Therefore, the correct answer is D.

19.

Sean $C_1,$ $C_2,$ y $C_3$ tres cuerdas paralelas de un círculo situadas al mismo lado del centro. La distancia entre $C_1$ y $C_2$ es igual a la distancia entre $C_2$ y $C_3.$ Las longitudes de las cuerdas son $20,$ $16,$ y $8.$ El radio del círculo es

Let $C_1,$ $C_2,$ and $C_3$ be three parallel chords of a circle on the same side of the center. The distance between $C_1$ and $C_2$ is the same as the distance between $C_2$ and $C_3.$ The lengths of the chords are $20,$ $16,$ and $8.$ The radius of the circle is

$12$

$4\sqrt7$

$\frac{5\sqrt{65}}3$

$\frac{5\sqrt{22}}2$

no está determinado de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: D

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Una perpendicular desde el centro biseca cada cuerda

A perpendicular from the center bisects each chord

Pista grande:

Sea $u$ la distancia desde el centro hasta la cuerda más cercana y $v$ el espaciamiento común

Let the nearest chord be distance $u$ from the center and the common spacing be $v$

Solución:

Sean $r$ el radio, $u$ la distancia a la cuerda de longitud $20$ y $v$ el espaciamiento común. Entonces $\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}$ Las restas consecutivas dan $2uv+v^2=36$ y $2uv+3v^2=48,$ de modo que $v^2=6$ y $u=\frac{15}{\sqrt6}.$ Por lo tanto, $r^2=u^2+100=\frac{275}{2},$ y $r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $r$ be the radius, $u$ the distance to the $20$ -unit chord, and $v$ the common spacing. Then $\begin{aligned} r^2&=u^2+10^2,\\ r^2&=(u+v)^2+8^2,\\ r^2&=(u+2v)^2+4^2. \end{aligned}$ Consecutive subtraction gives $2uv+v^2=36$ and $2uv+3v^2=48,$ so $v^2=6$ and $u=\frac{15}{\sqrt6}.$ Hence $r^2=u^2+100=\frac{275}{2},$ and $r=\frac{5\sqrt{22}}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

20.

Una caja contiene $2$ monedas de un centavo, $4$ monedas de cinco centavos y $6$ monedas de diez centavos. Se extraen seis monedas sin reemplazo, y cada moneda tiene la misma probabilidad de ser elegida. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de las monedas extraídas sea al menos $50$ centavos?

A box contains $2$ pennies, $4$ nickels and $6$ dimes. Six coins are drawn without replacement, with each coin having an equal probability of being chosen. What is the probability that the value of the coins drawn is at least $50$ cents?

$\frac{37}{924}$

$\frac{91}{924}$

$\frac{127}{924}$

$\frac{132}{924}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:combinaciones muestreo sin reemplazo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Hay $\binom{12}{6}$ conjuntos de seis monedas igualmente probables

There are $\binom{12}{6}$ equally likely sets of six coins

Pista grande:

Clasifica las selecciones favorables según contengan seis, cinco o cuatro monedas de diez centavos

Classify favorable selections by whether they contain six, five, or four dimes

Solución:

Hay $\binom{12}{6}=924$ selecciones. Se obtiene un valor de al menos $50$ centavos con seis monedas de diez centavos; con cinco de diez centavos y cualquier otra moneda; o con cuatro de diez centavos y dos de cinco centavos. El número de selecciones favorables es $\begin{aligned} &\binom66\\ &\quad+\binom65\binom61\\ &\quad+\binom64\binom42\\ &=1+36+90\\ &=127. \end{aligned}$ Por lo tanto, la probabilidad es $\frac{127}{924}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $\binom{12}{6}=924$ selections. A value of at least $50$ cents occurs with six dimes; with five dimes and any one other coin; or with four dimes and two nickels. The favorable count is $\begin{aligned} &\binom66\\ &\quad+\binom65\binom61\\ &\quad+\binom64\binom42\\ &=1+36+90\\ &=127. \end{aligned}$ Thus the probability is $\frac{127}{924}.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

En el triángulo $ABC,$ $\angle CBA=72^\circ,$ $E$ es el punto medio del lado $AC,$ y $D$ es un punto del lado $BC$ tal que $2BD=DC;$ $AD$ y $BE$ se cortan en $F.$ La razón entre el área de $\triangle BDF$ y el área del cuadrilátero $FDCE$ es

In triangle $ABC,$ $\angle CBA=72^\circ,$ $E$ is the midpoint of side $AC,$ and $D$ is a point on side $BC$ such that $2BD=DC;$ $AD$ and $BE$ intersect at $F.$ The ratio of the area of $\triangle BDF$ to the area of quadrilateral $FDCE$ is

$\frac15$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac25$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas punto medio razón y proporción

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Las razones de áreas no cambian bajo una transformación afín, así que puedes usar coordenadas convenientes

Area ratios are unchanged by an affine transformation, so convenient coordinates may be used

Pista grande:

Halla la razón $AF:FD$ y luego compara los triángulos pequeños con $\triangle ABC$

Find the ratio $AF:FD$ , then compare the small triangles with $\triangle ABC$

Solución:

Escala el área total de $\triangle ABC$ a $1.$ Como $BD:DC=1:2,$ tenemos $[ABD]=\frac{1}{3}$ y $[ACD]=\frac{2}{3}.$ Las condiciones de punto medio y trisección dan $AF:FD=3:1.$ Por lo tanto, $[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.$ Además, $\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}$ Así, $[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},$ y la razón pedida es $\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Scale the total area of $\triangle ABC$ to $1.$ Since $BD:DC=1:2,$ we have $[ABD]=\frac{1}{3}$ and $[ACD]=\frac{2}{3}.$ The midpoint and trisection conditions give $AF:FD=3:1.$ Hence $[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.$ Also $\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}$ Therefore $[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},$ and the requested ratio is $\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.$

Therefore, the correct answer is A.

22.

Para cada número real $x,$ sea $f(x)$ el mínimo de los números $4x+1,$ $x+2,$ y $-2x+4.$ Entonces el valor máximo de $f(x)$ es

For each real number $x,$ let $f(x)$ be the minimum of the numbers $4x+1,$ $x+2,$ and $-2x+4.$ Then the maximum value of $f(x)$ is

$\frac13$

$\frac12$

$\frac23$

$\frac52$

$\frac83$

Respuesta: E

Conceptos:función optimización ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Traza las tres rectas y sigue su envolvente inferior

Sketch the three lines and follow their lower envelope

Pista grande:

El máximo ocurre donde la recta creciente activa se encuentra con la recta decreciente

The maximum occurs where the active increasing line meets the decreasing line

Solución:

La envolvente inferior es $4x+1$ hasta que se encuentra con $x+2$ en $x=\frac{1}{3},$ luego es $x+2$ hasta que esa recta se encuentra con $-2x+4$ en $x=\frac{2}{3},$ y después es $-2x+4.$ Por tanto, su máximo ocurre en $x=\frac{2}{3}$ y es $\frac23+2=\frac83.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The lower envelope is $4x+1$ until it meets $x+2$ at $x=\frac{1}{3},$ then is $x+2$ until that line meets $-2x+4$ at $x=\frac{2}{3},$ and thereafter is $-2x+4.$ Thus its maximum occurs at $x=\frac{2}{3}$ and equals $\frac23+2=\frac83.$

Therefore, the correct answer is E.

23.

Los segmentos trazados desde el vértice opuesto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo hasta los puntos que trisecan la hipotenusa tienen longitudes $\sin x$ y $\cos x,$ donde $x$ es un número real tal que $0\lt x\lt\frac\pi2.$ La longitud de la hipotenusa es

Line segments drawn from the vertex opposite the hypotenuse of a right triangle to the points trisecting the hypotenuse have lengths $\sin x$ and $\cos x,$ where $x$ is a real number such that $0\lt x\lt\frac\pi2.$ The length of the hypotenuse is

$\frac43$

$\frac32$

$\frac{3\sqrt5}{5}$

$\frac{2\sqrt5}{3}$

no está determinada de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:triángulo rectángulo geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Coloca la hipotenusa sobre el eje $x$ y asigna coordenadas al vértice del ángulo recto

Put the hypotenuse on the $x$ -axis and assign coordinates to the right-angle vertex

Pista grande:

Suma los cuadrados de las longitudes de los dos segmentos a los puntos de trisección para cancelar la posición horizontal desconocida

Add the squares of the two trisector-segment lengths so the unknown horizontal position cancels

Solución:

Sean $(0,0)$ y $(h,0),$ los extremos de la hipotenusa, y sea $(u,v)$ el vértice del ángulo recto. La condición de ángulo recto da $u^2+v^2=hu.$ La suma de los cuadrados de las distancias a $(\frac{h}{3},0)$ y $(\frac{2h}{3},0)$ es $\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}$ Esto también es igual a $\sin^2x+\cos^2x=1.$ Por consiguiente, $h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the hypotenuse have endpoints $(0,0)$ and $(h,0),$ and let the right-angle vertex be $(u,v).$ The right-angle condition gives $u^2+v^2=hu.$ The squared distances to $(\frac{h}{3},0)$ and $(\frac{2h}{3},0)$ sum to $\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}$ This also equals $\sin^2x+\cos^2x=1.$ Hence $h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.$

Therefore, the correct answer is C.

24.

Para cierto número real $r,$ el polinomio $8x^3-4x^2-42x+45$ es divisible por $(x-r)^2.$ ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a $r$ ?

For some real number $r,$ the polynomial $8x^3-4x^2-42x+45$ is divisible by $(x-r)^2.$ Which of the following numbers is closest to $r?$

$1.22$

$1.32$

$1.42$

$1.52$

$1.62$

Respuesta: D

Conceptos:polinomio factorización estimación

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Una raíz repetida aparece como un factor lineal al cuadrado

A repeated root appears as a squared linear factor

Pista grande:

Factoriza por completo el polinomio cúbico y luego compara la raíz repetida con los decimales dados

Factor the cubic completely and then compare the repeated root with the listed decimals

Solución:

El polinomio se factoriza como $\begin{aligned} &8x^3-4x^2-42x+45\\ &\qquad=(2x-3)^2(2x+5). \end{aligned}$ Así, la raíz repetida es $r=\frac{3}{2}=1.5,$ y el número dado más cercano es $1.52.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The polynomial factors as $\begin{aligned} &8x^3-4x^2-42x+45\\ &\qquad=(2x-3)^2(2x+5). \end{aligned}$ Thus the repeated root is $r=\frac{3}{2}=1.5,$ and the nearest listed number is $1.52.$

Therefore, the correct answer is D.

25.

En la sucesión no decreciente de enteros impares $\begin{aligned} (a_1,a_2,a_3,\ldots) ={}&(1,3,3,3,\\ &5,5,5,5,5,\ldots) \end{aligned}$ cada entero impar positivo $k$ aparece $k$ veces. Se sabe que existen enteros $b,$ $c,$ y $d$ tales que, para todos los enteros positivos $n,$ $a_n=b\left\lfloor\sqrt{n+c}\right\rfloor+d,$ donde $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x.$ La suma $b+c+d$ es

In the nondecreasing sequence of odd integers $\begin{aligned} (a_1,a_2,a_3,\ldots) ={}&(1,3,3,3,\\ &5,5,5,5,5,\ldots) \end{aligned}$ each positive odd integer $k$ appears $k$ times. It is a fact that there are integers $b,$ $c,$ and $d$ such that, for all positive integers $n,$ $a_n=b\left\lfloor\sqrt{n+c}\right\rfloor+d,$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer not exceeding $x.$ The sum $b+c+d$ equals

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo suma de los primeros n números impares reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Los primeros $m$ enteros impares positivos suman $m^2$

The first $m$ positive odd integers have sum $m^2$

Pista grande:

Expresa el menor $m$ que satisface $m^2\ge n$ usando el piso de $\sqrt{n-1}$

Express the least $m$ with $m^2\ge n$ using a floor of $\sqrt{n-1}$

Solución:

La última aparición de $2m-1$ está en la posición $1+3+\cdots+(2m-1)=m^2.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} a_n&=2\left\lceil\sqrt n\right\rceil-1\\ &=2\left\lfloor\sqrt{n-1}\right\rfloor+1. \end{aligned}$ Así, $b=2,$ $c=-1,$ y $d=1,$ por lo que $b+c+d=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The final occurrence of $2m-1$ is in position $1+3+\cdots+(2m-1)=m^2.$ Therefore $\begin{aligned} a_n&=2\left\lceil\sqrt n\right\rceil-1\\ &=2\left\lfloor\sqrt{n-1}\right\rfloor+1. \end{aligned}$ Thus $b=2,$ $c=-1,$ and $d=1,$ so $b+c+d=2.$

Therefore, the correct answer is C.

26.

Cuatro esferas de radio $1$ son mutuamente tangentes; tres descansan sobre el piso y la cuarta descansa sobre las otras. Un tetraedro, cada una de cuyas aristas tiene longitud $s,$ está circunscrito alrededor de las esferas. Entonces $s$ es igual a

Four balls of radius $1$ are mutually tangent, three resting on the floor and the fourth resting on the others. A tetrahedron, each of whose edges has length $s,$ is circumscribed around the balls. Then $s$ equals

$4\sqrt2$

$4\sqrt3$

$2\sqrt6$

$1+2\sqrt6$

$2+2\sqrt6$

Respuesta: E

Conceptos:Geometría 3D circunferencia inscrita, incentro e inradio semejanza

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Los cuatro centros de las esferas forman un tetraedro regular de arista $2$

The four ball centers form a regular tetrahedron of edge $2$

Pista grande:

Las caras exteriores son paralelas a las caras correspondientes del tetraedro de centros y están un radio más lejos

The outer faces are parallel to the corresponding center-tetrahedron faces and one radius farther away

Solución:

Los centros de las esferas forman un tetraedro regular de arista $2.$ Su inradio es $d=\frac{2\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{6}.$ Cada cara del tetraedro circunscrito es paralela a la cara correspondiente del tetraedro de centros y se encuentra una unidad más lejos del centro común. Por semejanza, $\frac{s}{2}=\frac{d+1}{d}.$ Por lo tanto, $s=2+\frac{2}{d}=2+2\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The ball centers form a regular tetrahedron of edge $2.$ Its inradius is $d=\frac{2\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{6}.$ Each face of the circumscribed tetrahedron is parallel to the corresponding face of this center tetrahedron and lies one unit farther from the common center. By similarity, $\frac{s}{2}=\frac{d+1}{d}.$ Hence $s=2+\frac{2}{d}=2+2\sqrt6.$

Therefore, the correct answer is E.

27.

La suma $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ es igual a

The sum $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ equals

$\frac32$

$\frac{\sqrt[3]{65}}4$

$\frac{1+\sqrt[6]{13}}2$

$\sqrt[3]2$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:radical suma y diferencia de cubos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Llama $u$ y $v$ a las dos raíces cúbicas y calcula $uv$

Call the two cube roots $u$ and $v$ , and compute $uv$

Pista grande:

Usa $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$

Use $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$

Solución:

Sean $u$ y $v$ las dos raíces cúbicas reales. Entonces $\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}$ Si $t=u+v,$ entonces $t^3=10-9t,$ así que $\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}$ La única solución real es $t=1,$ que no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the two real cube roots be $u$ and $v.$ Then $\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}$ If $t=u+v,$ then $t^3=10-9t,$ so $\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}$ The only real solution is $t=1,$ which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

28.

El polinomio $x^{2n}+1+(x+1)^{2n}$ no es divisible por $x^2+x+1$ si $n$ es igual a

The polynomial $x^{2n}+1+(x+1)^{2n}$ is not divisible by $x^2+x+1$ if $n$ equals

$17$

$20$

$21$

$64$

$65$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio raíces de la unidad exponenciación modular

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Evalúa el polinomio en una raíz cúbica no real de la unidad $\omega$

Evaluate the polynomial at a nonreal cube root of unity $\omega$

Pista grande:

Usa $1+\omega=-\omega^2$ y considera $n$ módulo $3$

Use $1+\omega=-\omega^2$ and consider $n$ modulo $3$

Solución:

Sea $\omega^2+\omega+1=0.$ Como $1+\omega=-\omega^2,$ al evaluar el polinomio en $\omega$ se obtiene $\omega^{2n}+1+\omega^{4n}.$ Esto es $0$ salvo que $\omega^{2n}=1,$ en cuyo caso es $3.$ Esto último ocurre exactamente cuando $n$ es divisible por $3.$ Entre las opciones, solo $21$ es divisible por $3,$ así que este es el valor para el cual falla la divisibilidad.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\omega^2+\omega+1=0.$ Since $1+\omega=-\omega^2,$ the polynomial evaluated at $\omega$ is $\omega^{2n}+1+\omega^{4n}.$ This is $0$ unless $\omega^{2n}=1,$ in which case it is $3.$ The latter occurs exactly when $n$ is divisible by $3.$ Among the choices only $21$ is divisible by $3,$ so that is the value for which divisibility fails.

Therefore, the correct answer is C.

29.

¿Cuántas ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? $\begin{aligned} x^2-3xy+2y^2-z^2&=31,\\ -x^2+6yz+2z^2&=44,\\ x^2+xy+8z^2&=100. \end{aligned}$

How many ordered triples $(x,y,z)$ of integers satisfy the system of equations below? $\begin{aligned} x^2-3xy+2y^2-z^2&=31,\\ -x^2+6yz+2z^2&=44,\\ x^2+xy+8z^2&=100. \end{aligned}$

$0$

$1$

$2$

un número finito mayor que dos

a finite number greater than two

infinitas

infinitely many

Respuesta: A

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Suma las tres ecuaciones antes de intentar resolver las variables

Add all three equations before trying to solve for the variables

Pista grande:

Reescribe la forma cuadrática resultante como una suma de dos cuadrados y reduce módulo $4$

Rewrite the resulting quadratic form as a sum of two squares and reduce modulo $4$

Solución:

Al sumar las tres ecuaciones se obtiene $\begin{aligned} x^2-2xy+2y^2 &{}+6yz+9z^2\\ &=175, \end{aligned}$ o bien $(x-y)^2+(y+3z)^2=175.$ Un cuadrado es congruente con $0$ o $1\pmod4,$ así que una suma de dos cuadrados no puede ser congruente con $3\pmod4.$ Pero $175\equiv3\pmod4,$ una contradicción. Por lo tanto, no hay ternas enteras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding the three equations gives $\begin{aligned} x^2-2xy+2y^2 &{}+6yz+9z^2\\ &=175, \end{aligned}$ or $(x-y)^2+(y+3z)^2=175.$ A square is congruent to $0$ or $1\pmod4,$ so a sum of two squares cannot be congruent to $3\pmod4.$ But $175\equiv3\pmod4,$ a contradiction. Thus there are no integer triples.

Therefore, the correct answer is A.

30.

Un número de seis cifras (en base $10$ ) es cuadradizo si satisface las siguientes condiciones:

(i) ninguna de sus cifras es cero;

(ii) es un cuadrado perfecto; y

(iii) las dos primeras cifras, las dos cifras centrales y las dos últimas cifras del número son cuadrados perfectos al considerarlas como números de dos cifras.

¿Cuántos números cuadradizos hay?

A six digit number (base $10$ ) is squarish if it satisfies the following conditions:

(i) none of its digits is zero;

(ii) it is a perfect square; and

(iii) the first two digits, the middle two digits and the last two digits of the number are all perfect squares when considered as two digit numbers.

How many squarish numbers are there?

$0$

$2$

$3$

$8$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos cuadrado perfecto enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Enumera los cuadrados perfectos de dos cifras que no contienen ningún cero

List the two-digit perfect squares having no zero digit

Pista grande:

Usa el primer par para restringir la raíz cuadrada a un intervalo corto y luego filtra por el último par

Use the first pair to restrict the square root to a short interval, then filter by the final pair

Solución:

Cada bloque de dos cifras debe pertenecer a $\{16,25,36,49,64,81\}.$ Al restringir la raíz cuadrada mediante el primer bloque y conservar solo los cuadrados cuyo bloque final está permitido, quedan los siguientes bloques centrales posibles:

primer bloque	posibles bloques centrales
$16$	$32,$ $40,$ $48,$ $56,$ $64,$ $72$
$25$	$40,$ $50,$ $60,$ $70,$ $80,$ $90$
$36$	$48,$ $60,$ $72,$ $84,$ $96$
$49$	$56,$ $70,$ $84,$ $98$
$64$	$64,$ $80,$ $96$
$81$	$72,$ $90$

Solo está permitido el bloque central $64,$ lo cual produce $\begin{aligned} 166464&=408^2,\\ 646416&=804^2. \end{aligned}$ Por lo tanto, hay $2$ números cuadradizos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each two-digit block must belong to $\{16,25,36,49,64,81\}.$ Restricting the square root by the first block and retaining only squares with an allowed final block leaves the following possible middle blocks:

first block	possible middle blocks
$16$	$32,$ $40,$ $48,$ $56,$ $64,$ $72$
$25$	$40,$ $50,$ $60,$ $70,$ $80,$ $90$
$36$	$48,$ $60,$ $72,$ $84,$ $96$
$49$	$56,$ $70,$ $84,$ $98$
$64$	$64,$ $80,$ $96$
$81$	$72,$ $90$

Only the middle block $64$ is allowed, producing $\begin{aligned} 166464&=408^2,\\ 646416&=804^2. \end{aligned}$ Thus there are $2$ squarish numbers.

Therefore, the correct answer is B.

Problemas del 1980 AMC 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1780

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