Question

Cuatro esferas de radio $1$ son mutuamente tangentes; tres descansan sobre el piso y la cuarta descansa sobre las otras. Un tetraedro, cada una de cuyas aristas tiene longitud $s,$ está circunscrito alrededor de las esferas. Entonces $s$ es igual a

Four balls of radius $1$ are mutually tangent, three resting on the floor and the fourth resting on the others. A tetrahedron, each of whose edges has length $s,$ is circumscribed around the balls. Then $s$ equals

$4\sqrt2$

$4\sqrt3$

$2\sqrt6$

$1+2\sqrt6$

$2+2\sqrt6$

Respuesta: E

Conceptos:Geometría 3D circunferencia inscrita, incentro e inradio semejanza

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Los cuatro centros de las esferas forman un tetraedro regular de arista $2$

The four ball centers form a regular tetrahedron of edge $2$

Pista grande:

Las caras exteriores son paralelas a las caras correspondientes del tetraedro de centros y están un radio más lejos

The outer faces are parallel to the corresponding center-tetrahedron faces and one radius farther away

Solución:

Los centros de las esferas forman un tetraedro regular de arista $2.$ Su inradio es $d=\frac{2\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{6}.$ Cada cara del tetraedro circunscrito es paralela a la cara correspondiente del tetraedro de centros y se encuentra una unidad más lejos del centro común. Por semejanza, $\frac{s}{2}=\frac{d+1}{d}.$ Por lo tanto, $s=2+\frac{2}{d}=2+2\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The ball centers form a regular tetrahedron of edge $2.$ Its inradius is $d=\frac{2\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{6}.$ Each face of the circumscribed tetrahedron is parallel to the corresponding face of this center tetrahedron and lies one unit farther from the common center. By similarity, $\frac{s}{2}=\frac{d+1}{d}.$ Hence $s=2+\frac{2}{d}=2+2\sqrt6.$

Therefore, the correct answer is E.

1980 AMC 12 Problema 26

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años