Question

四个半径为 $1$ 的球两两相切，其中三个放在地面上，第四个放在其余三个球上。用一个每条棱长均为 $s$ 的正四面体外切于这四个球，则 $s$ 等于

Four balls of radius $1$ are mutually tangent, three resting on the floor and the fourth resting on the others. A tetrahedron, each of whose edges has length $s,$ is circumscribed around the balls. Then $s$ equals

$4\sqrt2$

$4\sqrt3$

$2\sqrt6$

$1+2\sqrt6$

$2+2\sqrt6$

答案：E

知识点：立体几何内切圆、内心与内切圆半径相似

难度评级：2160

小提示：

四个球心组成棱长为 $2$ 的正四面体

The four ball centers form a regular tetrahedron of edge $2$

大提示：

外部正四面体的每个面都与相应的球心四面体面平行，并向外相距一个半径

The outer faces are parallel to the corresponding center-tetrahedron faces and one radius farther away

解答：

四个球心组成一个棱长为 $2$ 的正四面体。它的内切球半径为 $d=\frac{2\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{6}\text{。}$ 外切正四面体的每个面都与球心四面体的相应面平行，并且比该面到共同中心的距离多一个单位。由相似关系， $\frac{s}{2}=\frac{d+1}{d}\text{。}$ 因此 $s=2+\frac{2}{d}=2+2\sqrt6$ 。

因此，正确答案是 E。

The ball centers form a regular tetrahedron of edge $2.$ Its inradius is $d=\frac{2\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{6}.$ Each face of the circumscribed tetrahedron is parallel to the corresponding face of this center tetrahedron and lies one unit farther from the common center. By similarity, $\frac{s}{2}=\frac{d+1}{d}.$ Hence $s=2+\frac{2}{d}=2+2\sqrt6.$

Therefore, the correct answer is E.

1980 AMC 12 第 26 题

答案：E

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题