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1992 AMC 12 第 26 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

26.

半圆弧 AB⌢\overset{\frown}{AB} 的圆心为 CC，半径为 11。点 DD 在 AB⌢\overset{\frown}{AB} 上，且 CD⊥ABCD\perp AB。分别延长 BD‾\overline{BD} 和 AD‾\overline{AD} 至 EE 和 FF，使圆弧 AE⌢\overset{\frown}{AE} 和 BF⌢\overset{\frown}{BF} 的圆心分别为 BB 和 AA。圆弧 EF⌢\overset{\frown}{EF} 的圆心为 DD。阴影“笑脸”区域 AEFBDAAEFBDA 的面积为

Semicircle AB⌢\overset{\frown}{AB} has center CC and radius 1.1. Point DD is on AB⌢\overset{\frown}{AB} and CD⊥AB.CD\perp AB. Extend BD‾\overline{BD} and AD‾\overline{AD} to EE and F,F, respectively, so that circular arcs AE⌢\overset{\frown}{AE} and BF⌢\overset{\frown}{BF} have BB and AA as their respective centers. Circular arc EF⌢\overset{\frown}{EF} has center D.D. The area of the shaded “smile,” AEFBDA,AEFBDA, is

(2−2)π(2-\sqrt2)\pi

2π−π2−12\pi-\pi\sqrt2-1

(1−22)π\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\pi

5π2−π2−1\frac{5\pi}{2}-\pi\sqrt2-1

(3−22)π(3-2\sqrt2)\pi

答案：B
知识点：sector areasemicircleisosceles right trianglecomposite region
难度评级：2260
小提示：

利用 AC=BC=CD=1AC=BC=CD=1 找出两个等腰直角三角形，并确定相关半径

Use AC=BC=CD=1AC=BC=CD=1 to identify two isosceles right triangles and determine the relevant radii

大提示：

将笑脸区域表示为一个 90∘90^\circ 扇形加两个 45∘45^\circ 扇形，再减去三角形 ABDABD 和半圆 ADBADB

Express the smile as one 90∘90^\circ sector plus two 45∘45^\circ sectors, then subtract triangle ABDABD and semicircle ADBADB

解答：

三角形 ACDACD 和 BCDBCD 都是等腰直角三角形，所以 AD=BD=2AD=BD=\sqrt2、∠ADB=90∘\angle ADB=90^\circ，且 DE=DF=2−2DE=DF=2-\sqrt2。笑脸区域等于 90∘90^\circ 扇形 EDFEDF 加上全等的两个 45∘45^\circ 扇形 ABEABE 和 BAFBAF，再减去三角形 ABDABD 与原半圆。其面积为 14π(2−2)2+2(18π⋅22)−12(2)(1)−12π=2π−π2−1。 \begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1 \end{aligned}\text{。}

因此正确答案是 B。

Triangles ACDACD and BCDBCD are isosceles right triangles, so AD=BD=2,AD=BD=\sqrt2, ∠ADB=90∘,\angle ADB=90^\circ, and DE=DF=2−2.DE=DF=2-\sqrt2. The smile is the 90∘90^\circ sector EDF,EDF, plus the congruent 45∘45^\circ sectors ABEABE and BAF,BAF, minus triangle ABDABD and the original semicircle. Its area is 14π(2−2)2+2(18π⋅22)−12(2)(1)−12π=2π−π2−1. \begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.

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