Question

函数 $f$ 对每一对实数 $x$ 、 $y$ 都满足函数方程 $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\text{。}$ 若 $f(1)=1$ ，则满足 $n\ne1$ 且 $f(n)=n$ 的整数有多少个？

The function $f$ satisfies the functional equation $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$ for every pair $x,$ $y$ of real numbers. If $f(1)=1,$ then the number of integers $n\ne1$ for which $f(n)=n$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

无穷多个

infinite

答案：B

知识点：函数方程递推二次方程

难度评级：2200

小提示：

令一个变量等于 $1$ ，得到整数自变量相邻两项的递推关系

Set one variable equal to $1$ to get a recurrence for consecutive integer inputs

大提示：

先求 $f(0)$ ，再利用递推关系求出所有整数自变量对应的函数值，最后令 $f(n)=n$

Find $f(0)$ , solve the recurrence for all integers, and then impose $f(n)=n$

解答：

令 $x=1$ ，得到 $f(y+1)-f(y)=y+2$ 。令 $x=y=0$ ，得到 $f(0)=-1$ 。向两个方向延拓递推关系，可得对每个整数 $n$ ， $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}\text{。}$ 因而 $f(n)=n$ 等价于 $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0 \end{aligned}\text{。}$ 整数解为 $n=-2$ 和 $n=1$ ，排除 $1$ 后恰好剩一个。

因此，正确答案是 B。

Setting $x=1$ gives $f(y+1)-f(y)=y+2.$ Setting $x=y=0$ gives $f(0)=-1.$ Extending the recurrence in both directions yields, for every integer $n,$ $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}.$ Thus $f(n)=n$ is equivalent to $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0. \end{aligned}$ The integer solutions are $n=-2$ and $n=1,$ and after excluding $1$ exactly one remains.

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题