Question

用 $x+\frac12$ 除多项式 $x^8$ 时，商与余数分别为 $q_1(x)$ 和 $r_1$ ；再用 $x+\frac12$ 除 $q_1(x)$ 时，商与余数分别为 $q_2(x)$ 和 $r_2$ 。那么 $r_2$ 等于

If $q_1(x)$ and $r_1$ are the quotient and remainder, respectively, when the polynomial $x^8$ is divided by $x+\frac12,$ and if $q_2(x)$ and $r_2$ are the quotient and remainder, respectively, when $q_1(x)$ is divided by $x+\frac12,$ then $r_2$ equals

$\frac1{256}$

$-\frac1{16}$

$1$

$-16$

$256$

答案：B

知识点：多项式因式分解换元法

难度评级：2040

小提示：

令 $a=-\frac12$ ，利用 $x^8-a^8$ 表示第一次相除所得的商

Let $a=-\frac12$ and express the first quotient using $x^8-a^8$

大提示：

在 $x=a$ 处对 $q_1(x)$ 应用余式定理

Apply the remainder theorem to $q_1(x)$ at $x=a$

解答：

令 $a=-\frac{1}{2}$ 。因为第一次相除的余数为 $a^8$ ，所以 $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7 \end{aligned}\text{。}$ 因此第二次相除的余数为 $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let $a=-\frac{1}{2}.$ Since the first remainder is $a^8,$ $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}$ Therefore the second remainder is $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题