Question

若 $T_n=1+2+3+\cdots+n$ ，并且对 $n=2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $\ldots$ ，定义 $\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}\text{，}$ 则 $P_{1991}$ 最接近下列哪个数？

If $T_n=1+2+3+\cdots+n$ and $\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}$ for $n=2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ then $P_{1991}$ is closest to which of the following numbers?

$2.0$

$2.3$

$2.6$

$2.9$

$3.2$

答案：D

知识点：telescoping product 三角形数 approximation

难度评级：1950

小提示：

分解 $T_k-1$ ，并化简每个因子 $\frac{T_k}{T_k-1}$

Factor $T_k-1$ and simplify each factor $\frac{T_k}{T_k-1}$

大提示：

把每个因子写成 $\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}$ ，然后连乘消去

Write each factor as $\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}$ and telescope

解答：

由于 $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ 且 $T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2}$ ， $\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}\text{。}$ 连乘后大量因子相消： $\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2} \end{aligned}\text{。}$ 当 $n=1991$ 时，该值略小于 $3$ ，最接近 $2.9$ 。

因此正确答案为 D。

Since $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ and $T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2},$ $\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}.$ The product telescopes: $\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2}. \end{aligned}$ For $n=1991,$ this is just under $3$ and is closest to $2.9.$

Thus the correct answer is D.

1991 AMC 12 第 25 题

答案：D

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题