1966 AMC 12 第 25 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1966 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

若当 $n=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 时， $F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}$ ，且 $F(1)=2$ ，则 $F(101)$ 等于：

If $F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}$ for $n=1,$ $2,$ $\ldots,$ and $F(1)=2,$ then $F(101)$ equals:

$49$

$50$

$51$

$52$

$53$

答案：D

知识点：等差数列递推

难度评级：960

小提示：

将递推式化简为 $F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}$

Simplify the recurrence to $F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}$

大提示：

计算从 $n=1$ 到 $n=101$ 共有多少次增量

Count the increments from $n=1$ to $n=101$

解答：

每一步增加 $\frac{1}{2}$ 。从 $F(1)$ 到 $F(101)$ ，共有 $100$ 步，所以 $F(101)=2+\frac{100}{2}=52\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Each step adds $\frac{1}{2}.$ There are $100$ steps from $F(1)$ to $F(101),$ so $F(101)=2+\frac{100}{2}=52.$

Therefore, the correct answer is D.

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