Question

设 $m$ 和 $n$ 为任意两个奇数，且 $n$ 小于 $m$ 。能整除所有可能的 $m^2-n^2$ 的最大整数是：

Let $m$ and $n$ be any two odd numbers, with $n$ less than $m.$ The largest integer which divides all possible numbers of the form $m^2-n^2$ is:

$2$

$4$

$6$

$8$

$16$

答案：D

知识点：整除性奇偶性平方差

难度评级：1280

小提示：

将 $m^2-n^2$ 分解为两个偶数因子

Factor $m^2-n^2$ into two even factors

大提示：

$m-n$ 与 $m+n$ 中有一个能被 $4$ 整除；再检验一组较小的数

Among $m-n$ and $m+n,$ one is divisible by $4$ ; then test a small pair

解答：

有 $m^2-n^2=(m-n)(m+n)\text{。}$ 两个因子都是偶数，其中一个能被 $4$ 整除，所以每个这样的差都能被 $8$ 整除。取 $m=3,n=1$ ，得到 $m^2-n^2=8$ ，这说明不存在总能整除它的更大整数。

因此，正确答案是 D。

We have $m^2-n^2=(m-n)(m+n).$ Both factors are even, and one is divisible by $4,$ so every such difference is divisible by $8.$ Taking $m=3,n=1$ gives $m^2-n^2=8,$ proving that no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is D.

1960 AMC 12 第 25 题

答案：D

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题