Question

设 $ABCD$ 为平行四边形，空间中的射线 $\overrightarrow{AA'}$ 、 $\overrightarrow{BB'}$ 、 $\overrightarrow{CC'}$ 、 $\overrightarrow{DD'}$ 互相平行，并且位于 $ABCD$ 所在平面的同一侧。若 $AA'=10$ 、 $BB'=8$ 、 $CC'=18$ 、 $DD'=22$ ，且 $M$ 、 $N$ 分别是 $A'C'$ 、 $B'D'$ 的中点，则 $MN=$

Let $ABCD$ be a parallelogram and let $\overrightarrow{AA'},$ $\overrightarrow{BB'},$ $\overrightarrow{CC'},$ and $\overrightarrow{DD'}$ be parallel rays in space on the same side of the plane determined by $ABCD.$ If $AA'=10,$ $BB'=8,$ $CC'=18,$ $DD'=22,$ and $M$ and $N$ are the midpoints of $A'C'$ and $B'D',$ respectively, then $MN=$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：B

知识点：vectors three-dimensional geometry

难度评级：2010

小提示：

使用向量以及平行四边形恒等式 $A+C=B+D$

Use vectors and the parallelogram identity $A+C=B+D$

大提示：

两个中点在平面方向上的分量相同，只需比较沿射线方向的分量

The planar components of the two midpoints coincide; compare only their ray-direction components

解答：

取各射线的共同方向为单位向量 $u$ 。于是 $\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u \end{aligned}\text{。}$ 对于平行四边形有 $A+C=B+D$ ，所以 $N-M=u$ ，从而 $MN=1$ 。正确答案是 B。

Choose the common ray direction as a unit vector $u.$ Then $\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}$ Since $A+C=B+D$ for a parallelogram, $N-M=u,$ so $MN=1.$ The correct answer is B.

1997 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题