1956 AMC 12 第 25 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1956 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

当 $k$ 取从 $1$ 到 $n$ 的整数值时，所有形如 $2k+1$ 的数之和为：

The sum of all numbers of the form $2k+1,$ where $k$ takes on integral values from $1$ to $n$ is:

$n^2$

$n(n+1)$

$n(n+2)$

$(n+1)^2$

$(n+1)(n+2)$

答案：C

知识点：arithmetic series 求和 algebraic simplification

难度评级：1490

小提示：

将 $\sum_{k=1}^n(2k+1)$ 拆成两个和

Separate $\sum_{k=1}^n(2k+1)$ into two sums

大提示：

使用 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Use $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

解答：

计算得 $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2k+1) &=2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1\\ &=n(n+1)+n\\ &=n(n+2) \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

We compute $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2k+1) &=2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1\\ &=n(n+1)+n\\ &=n(n+2). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

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