Question

存在唯一的整数 $a_2$ ， $a_3$ ， $a_4$ ， $a_5$ ， $a_6$ ， $a_7$ ，使得

$\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!} \end{aligned}\text{，}$

其中对 $i = 2$ ， $3$ ， $\ldots$ ， $7$ 有 $0 \le a_i \lt i$ 。求 $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ 。

There are unique integers $a_2,$ $a_3,$ $a_4,$ $a_5,$ $a_6,$ $a_7$ such that

$\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}$

where $0 \le a_i \lt i$ for $i = 2,$ $3,$ $\ldots,$ $7.$ Find $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

答案：B

知识点：进制阶乘模运算

难度评级：2030

小提示：

两边同乘 $7!$

Multiply both sides by $7!$

大提示：

依次模 $7$ 、模 $6$ 、模 $5, \ldots$ ，逐个取出数字。

Reduce modulo $7,$ then $6,$ then $5, \ldots$ to peel off one digit at a time

解答：

两边乘以 $7! = 5040$ ，得 $\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7\text{。} \end{aligned}$ 模 $7$ 得 $a_7 = 2$ 。

再计算 $\dfrac{3600 - 2}{7} = 514$ $= 360a_2 + 120a_3$ $+ 30a_4 + 6a_5$ $+ a_6$ 。模 $6$ 得 $a_6 = 4$ ，继续同样步骤得到 $a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1$ 。

所求和为 $1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9$ 。

所以正确答案是 B。

Multiplying by $7! = 5040$ gives $\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned}$ Reducing modulo $7,$ $a_7 = 2.$

Then $\dfrac{3600 - 2}{7} = 514$ $= 360a_2 + 120a_3$ $+ 30a_4 + 6a_5$ $+ a_6.$ Reducing modulo $6$ gives $a_6 = 4,$ and continuing this way yields $a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.$

The sum is $1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.$

Thus, the correct answer is B.

1999 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题