Question

抛物线 $P$ 的焦点为 $(0,0)$ ，并经过点 $(4,3)$ 与 $(-4,-3)$ 。有多少个满足 $(x,y)\in P$ 、坐标均为整数且 $|4x+3y|\le1000$ 的点？

The parabola $P$ has focus $(0,0)$ and goes through the points $(4,3)$ and $(-4,-3).$ For how many points $(x,y)\in P$ with integer coordinates is it true that $|4x+3y|\le1000?$

$38$

$40$

$42$

$44$

$46$

答案：B

知识点：抛物线格点丢番图方程

难度评级：2650

小提示：

$(0,0)$ 是 $(4,3)$ 与 $(-4,-3)$ 的中点，所以这条弦是通径，准线与它平行

$(0,0)$ is the midpoint of $(4,3)$ and $(-4,-3),$ so this chord is the latus rectum and the directrix is parallel to it

大提示：

准线为 $4y-3x+25=0$ ；参数化格点后，把 $|4x+3y|$ 化为 $|50u+25|\le1000$ 。

The directrix is $4y-3x+25=0$ ; parametrize the lattice points and reduce $|4x+3y|$ to $|50u+25|\le1000$

解答：

因为 $(0,0)$ 是 $A=(4,3)$ 与 $B=(-4,-3)$ 的中点，所以线段 $AB$ 是通径。准线与 $AB$ 平行，并位于焦点另一侧、相距 $5$ ，其方程为 $4y-3x+25=0$ 。

令点到焦点和准线的距离相等，得到 $(4x+3y)^2$ $=25\big(25+2(4y-3x)\big)$ 。令 $4x+3y=5s$ ，可推出 $s$ 是 $5$ 的倍数；再令 $s=5t$ ，可推出 $t$ 为奇数。写成 $t=2u+1$ 后，所有整数点可表示为 $\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3 \end{aligned}\text{。}$

于是 $|4x+3y|=|50u+25|\le1000$ 等价于 $|2u+1|\le39$ ，即 $-20\le u\le19$ 。因此共有 $40$ 个整数坐标点。

所以正确答案是 B。

Since $(0,0)$ is the midpoint of $A=(4,3)$ and $B=(-4,-3),$ the segment $AB$ is the latus rectum, so the directrix is parallel to $AB$ at distance $5$ on the far side, namely $4y-3x+25=0.$

Equating distances to focus and directrix gives $(4x+3y)^2$ $=25\big(25+2(4y-3x)\big).$ Writing $4x+3y=5s$ forces $s$ to be a multiple of $5,$ and $s=5t$ forces $t$ odd; with $t=2u+1$ the integer points are $\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}$

Then $|4x+3y|=|50u+25|\le1000$ iff $|2u+1|\le39,$ i.e. $-20\le u\le19.$ That gives $40$ lattice points.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A 第 25 题

答案：B

难度评级：2650

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解答：

其他年份的第 25 题