Question

三角形 $ABC$ 满足 $\angle BAC = 60^\circ$ ， $\angle CBA \le 90^\circ$ ， $BC = 1$ ，且 $AC \ge AB$ 。设 $H$ ， $I$ ，和 $O$ 分别为 $\triangle ABC$ 的垂心、内心和外心。假设五边形 $BCOIH$ 的面积达到最大可能值。求 $\angle CBA$ ？

Triangle $ABC$ has $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ and $AC \ge AB.$ Let $H,$ $I,$ and $O$ be the orthocenter, incenter, and circumcenter of $\triangle ABC,$ respectively. Assume that the area of the pentagon $BCOIH$ is the maximum possible. What is $\angle CBA?$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$80^\circ$

$90^\circ$

答案：D

知识点：外接圆、外心与外接圆半径最优化三角学

难度评级：2840

小提示：

因为 $\angle BAC = 60^\circ$ ，所以点 $B, C, O, I, H$ 都在同一个圆上

Because $\angle BAC = 60^\circ,$ the points $B, C, O, I, H$ all lie on one circle

大提示：

在这个圆上，要使四边形 $BOIH$ 面积最大，应使从 $O$ 到 $B$ 的三段连续小弧相等

On that circle, maximize the quadrilateral $BOIH$ by making the three consecutive subarcs from $O$ to $B$ equal

解答：

令 $B=\angle CBA$ ，并令 $C=\angle BCA=120^\circ-B$ 。因为 $AC\ge AB$ ，所以 $B\ge C$ ，从而 $60^\circ\le B\le90^\circ$ 。标准角度公式给出 $\begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ \end{aligned}\text{。}$ 因此 $B,C,O,I,H$ 位于同一个圆上。

此外， $BC=1$ 且 $A=60^\circ$ 确定外接圆半径 $OB=OC=\frac{1}{\sqrt3}$ ，所以 $\triangle BCO$ 以及经过 $B,C,O$ 的圆都是固定的。在 $C$ 处追角可得 $\begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2 \end{aligned}\text{。}$ 因此相应的弦满足 $OI=IH$ 。

五边形面积等于固定面积 $[BCO]$ 加上 $[BOIH]$ 。当两个点分割固定弧 $OB$ 时，圆内接四边形在三段连续小弧相等时面积最大（等价地，使它们的正弦和最大）。因此在最大值处有 $OI=IH=HB$ 。

在 $\triangle BOC$ 中， $\angle OCB=30^\circ$ 。等弦使 $\angle OCI=\angle ICH$ ，且 $\angle ICH=\angle HCB$ ，所以这些角都等于 $10^\circ$ 。因此 $30^\circ-\tfrac C2=10^\circ$ ，得 $C=40^\circ$ 和 $B=80^\circ$ 。

因此，正确答案是 D。

Write $B=\angle CBA$ and $C=\angle BCA=120^\circ-B.$ Since $AC\ge AB,$ we have $B\ge C,$ so $60^\circ\le B\le90^\circ.$ The standard angle formulas give $\begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ. \end{aligned}$ Hence $B,C,O,I,H$ lie on one circle.

Also $BC=1$ and $A=60^\circ$ fix the circumradius $OB=OC=\frac{1}{\sqrt3},$ so $\triangle BCO$ and the circle through $B,C,O$ are fixed. Angle chasing at $C$ gives $\begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2. \end{aligned}$ Thus the corresponding chords satisfy $OI=IH.$

The pentagon’s area is the fixed area $[BCO]$ plus $[BOIH].$ For two points dividing a fixed arc $OB,$ an inscribed quadrilateral has greatest area when its three consecutive subarcs are equal (equivalently, maximize the sum of their sines). Hence at the maximum $OI=IH=HB.$

In $\triangle BOC,$ $\angle OCB=30^\circ.$ Equal chords make $\angle OCI=\angle ICH,$ $\angle ICH=\angle HCB,$ and each of these angles is $10^\circ.$ Therefore $30^\circ-\tfrac C2=10^\circ,$ so $C=40^\circ$ and $B=80^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A 第 25 题

答案：D

难度评级：2840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题