Question

设 $ABCD$ 是一个凸四边形，且 $BC=2$ 、 $CD=6$ 。假设 $\triangle ABC$ ， $\triangle BCD$ ，和 $\triangle ACD$ 的重心构成一个等边三角形的顶点。 $ABCD$ 的面积最大可能值是多少？

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $BC=2$ and $CD=6.$ Suppose that the centroids of $\triangle ABC,$ $\triangle BCD,$ and $\triangle ACD$ form the vertices of an equilateral triangle. What is the maximum possible value of the area of $ABCD?$

$27$

$16\sqrt3$

$12+10\sqrt3$

$9+12\sqrt3$

$30$

答案：C

知识点：重心等边三角形余弦定理最优化

难度评级：2480

小提示：

三个重心之间的差向量为 $\dfrac{B-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{A-D}{3}$ 。

The differences of the three centroids are $\dfrac{B-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{A-D}{3}$

大提示：

因此 $\triangle ABD$ 是边长为 $BD$ 的等边三角形；用 $\angle BCD$ 表示面积并最大化

So $\triangle ABD$ is equilateral with side $BD;$ write the area using $\angle BCD$ and maximize

解答：

三个重心分别为 $\dfrac{A+B+C}{3}$ ， $\ \dfrac{B+C+D}{3}$ ， $\ \dfrac{A+C+D}{3}$ 。它们两两之差为 $\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3}$ ，所以重心三角形为等边三角形迫使 $AB=BD=DA$ ；也就是说， $\triangle ABD$ 是边长为 $s=BD$ 的等边三角形。

沿 $BD$ 分割， $\begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C \end{gathered}\text{，}$ 其中 $C=\angle BCD$ 。由余弦定理， $s^2=40-24\cos C$ ，所以 $\begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C \end{gathered}\text{。}$

表达式 $6\sin C-6\sqrt3\cos C$ 的最大值为 $\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12$ ，所以最大面积是 $10\sqrt3+12=12+10\sqrt3$ 。当 $C=150^\circ$ 时取等号；构造具有这个角的 $\triangle BCD$ ，并在 $\overline{BD}$ 另一侧作等边 $\triangle ABD$ ，可以得到凸四边形，所以最大值能够达到。

所以 C 是正确答案。

The centroids are $\dfrac{A+B+C}{3},$ $\ \dfrac{B+C+D}{3},$ $\ \dfrac{A+C+D}{3}.$ Their pairwise differences are $\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3},$ so an equilateral centroid triangle forces $AB=BD=DA;$ that is, $\triangle ABD$ is equilateral with side $s=BD.$

Splitting along $BD,$ $\begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C, \end{gathered}$ where $C=\angle BCD.$ By the Law of Cosines $s^2=40-24\cos C,$ so $\begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C. \end{gathered}$

The expression $6\sin C-6\sqrt3\cos C$ has maximum $\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12,$ so the greatest area is $10\sqrt3+12=12+10\sqrt3.$ Equality occurs at $C=150^\circ;$ constructing $\triangle BCD$ with that angle and placing equilateral $\triangle ABD$ on the opposite side of $\overline{BD}$ produces a convex quadrilateral, so the maximum is attainable.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 25 题

答案：C

难度评级：2480

小提示：

大提示：

解答：

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