Question

令 $m \ge 5$ 为奇整数，并令 $D(m)$ 表示满足下列条件的四元组 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ 的个数：四个分量是互不相同的整数，且对所有 $i$ 都有 $1 \le a_i \le m$ ，并且 $m$ 整除 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ 。存在一个多项式 $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ 使得对所有奇整数 $m \ge 5$ 都有 $D(m) = q(m)$ 。 $c_1$ 是多少？

Let $m \ge 5$ be an odd integer, and let $D(m)$ denote the number of quadruples $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ of distinct integers with $1 \le a_i \le m$ for all $i$ such that $m$ divides $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ There is a polynomial $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ such that $D(m) = q(m)$ for all odd integers $m \ge 5.$ What is $c_1?$

$-6$

$-1$

$4$

$6$

$11$

答案：E

知识点：模运算单位根多项式

难度评级：2650

小提示：

先数出所有和为 $0\pmod m$ 的有序剩余类四元组，再对坐标相等的情形做容斥

First count all ordered residue quadruples summing to $0\pmod m,$ then use inclusion-exclusion on equal coordinates

大提示：

把坐标重合的情形按一对相等、两对相等、三个相等、四个全相等来分类； $m$ 为奇数保证了乘以 $2$ 和乘以 $4$ 都可逆

Group collision patterns as one pair, two pairs, a triple, or all four equal; odd $m$ makes multiplication by $2$ and $4$ invertible

解答：

把 $1,2,\ldots,m$ 看作模 $m$ 的全部剩余类。若不要求各分量互不相同，则前三个分量可以任取，第四个分量随之唯一确定，于是共有 $m^3$ 个有序四元组。

按哪些坐标相等来划分并做容斥，即可得到其余各项。恰有一对坐标相等的选法有 $6$ 种，每种留下 $m^2$ 组解，共贡献 $-6m^2$ 。 $3$ 种“两对相等”的划分贡献 $+3m$ 。 $4$ 种“三个相等加一个单独”的划分的容斥系数为 $2$ ，贡献 $+8m$ 。最后，四个全相等的划分系数为 $-6$ ，且只有一组解。（这里 $m$ 为奇数保证了 $2$ 和 $4$ 模 $m$ 可逆。）因此 $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3) \end{aligned}\text{。}$ 于是 $c_1=11$ 。

所以正确答案是 E。

Regard $1,2,\ldots,m$ as all residues modulo $m.$ Without the distinctness condition, the first three entries are arbitrary and the fourth is determined, giving $m^3$ ordered quadruples.

Inclusion-exclusion over equal-coordinate partitions gives the remaining terms. There are $6$ choices of one equal pair, each leaving $m^2$ solutions, for $-6m^2.$ The $3$ two-pair partitions contribute $+3m.$ The $4$ triple-and-single partitions have inclusion-exclusion coefficient $2$ and contribute $+8m.$ Finally, the all-equal partition has coefficient $-6$ and one solution. (Here odd $m$ makes $2$ and $4$ invertible modulo $m.$ ) Therefore $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Hence $c_1=11.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 25 题

答案：E

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题