2021 AMC 12A Fall 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

下式的值是多少？ $\frac{(2112 - 2021)^2}{169}\text{？}$

What is the value of $\frac{(2112 - 2021)^2}{169}?$

$7$

$21$

$49$

$64$

$91$

知识点：因式分解完全平方数

难度评级：890

小提示：

$2112 - 2021 = 91$ 。

$2112 - 2021 = 91$

大提示：

$91 = 7 \times 13$ ，且 $169 = 13^2$ 。

$91 = 7 \times 13$ and $169 = 13^2$

解答：

因为 $2112 - 2021 = 91 = 7 \cdot 13$ ，且 $169 = 13^2$ ，所以这个分数为 $\dfrac{(7 \cdot 13)^2}{13^2} = 7^2 = 49$ 。

所以正确答案是 C。

Since $2112 - 2021 = 91 = 7 \cdot 13$ and $169 = 13^2,$ the fraction is $\dfrac{(7 \cdot 13)^2}{13^2} = 7^2 = 49.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Menkara 有一张 $4 \times 6$ 的索引卡片。如果她把这张卡片的一边长度缩短 $1$ 英寸，卡片的面积会变成 $18$ 平方英寸。如果她改为把另一边的长度缩短 $1$ 英寸，卡片的面积会是多少平方英寸？

Menkara has a $4 \times 6$ index card. If she shortens the length of one side of this card by $1$ inch, the card would have area $18$ square inches. What would the area of the card be in square inches if instead she shortens the length of the other side by $1$ inch?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

知识点：矩形面积

难度评级：1020

小提示：

缩短一边 $1$ 英寸后面积为 $18$ ，说明是 $3 \times 6 = 18$ ，所以被缩短的是 $4$ 英寸的边

Shortening a side by $1$ to get area $18$ means $3 \times 6 = 18,$ so the $4$ -inch side was the one reduced

大提示：

改为将 $6$ 英寸的边缩短 $1$ 英寸，得到 $4 \times 5$

Instead reduce the $6$ -inch side by $1,$ giving $4 \times 5$

解答：

原卡片是 $4 \times 6$ 。把一边缩短 $1$ 英寸后面积为 $18$ ，必须是 $3 \times 6 = 18$ ，所以被缩短的是 $4$ 英寸的边。

若改为把另一边缩短 $1$ 英寸，则面积为 $4 \times 5 = 20$ 平方英寸。

所以正确答案是 E。

The original card is $4 \times 6.$ Shortening a side by $1$ inch gives area $18,$ which requires $3 \times 6 = 18,$ so the reduced side was the $4$ -inch side.

Shortening the other side by $1$ inch instead gives $4 \times 5 = 20$ square inches.

Thus, the correct answer is E.

3.

Lopez 先生上班有两条路线可选。路线 A 长 $6$ 英里，他在这条路线上的平均速度为每小时 $30$ 英里。路线 B 长 $5$ 英里，他在这条路线上的平均速度为每小时 $40$ 英里，但其中有一段 $\tfrac{1}{2}$ 英里的学校区域，平均速度为每小时 $20$ 英里。路线 B 比路线 A 快多少分钟？

Mr. Lopez has a choice of two routes to get to work. Route A is $6$ miles long, and his average speed along this route is $30$ miles per hour. Route B is $5$ miles long, and his average speed along this route is $40$ miles per hour, except for a $\tfrac{1}{2}$ -mile stretch in a school zone where his average speed is $20$ miles per hour. By how many minutes is Route B quicker than Route A?

$2 \tfrac{3}{4}$

$3 \tfrac{3}{4}$

$4 \tfrac{1}{2}$

$5 \tfrac{1}{2}$

$6 \tfrac{3}{4}$

知识点：路程、速度与时间单位换算

难度评级：1130

小提示：

路线 A 用时 $\dfrac{6}{30}$ 小时；把它换算成分钟

Route A takes $\dfrac{6}{30}$ hour; convert to minutes

大提示：

路线 B 分成 $4.5$ 英里按每小时 $40$ 英里行驶，以及 $0.5$ 英里按每小时 $20$ 英里行驶

Route B splits into $4.5$ miles at $40$ mph and $0.5$ mile at $20$ mph

解答：

路线 A 用时 $\dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}$ 小时 $= 12$ 分钟。

路线 B 中 $4.5$ 英里按每小时 $40$ 英里行驶， $0.5$ 英里按每小时 $20$ 英里行驶，用时 $\dfrac{4.5}{40} + \dfrac{0.5}{20}$ $= 0.1125 + 0.025$ $= 0.1375$ 小时 $= 8.25$ 分钟。

差值为 $12 - 8.25 = 3.75 = 3\tfrac{3}{4}$ 分钟。

所以正确答案是 B。

Route A takes $\dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}$ hour $= 12$ minutes.

Route B has $4.5$ miles at $40$ mph and $0.5$ mile at $20$ mph, taking $\dfrac{4.5}{40} + \dfrac{0.5}{20}$ $= 0.1125 + 0.025$ $= 0.1375$ hour $= 8.25$ minutes.

The difference is $12 - 8.25 = 3.75 = 3\tfrac{3}{4}$ minutes.

Thus, the correct answer is B.

4.

六位数 $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ 只有在某一个数字 $A$ 下是质数。 $A$ 是多少？

The six-digit number $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ is prime for only one digit $A.$ What is $A?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

知识点：质数整除性

难度评级：1200

小提示：

这个数是 $202100 + A$ ；偶数 $A$ 会使它为偶数，且 $A = 5$ 会使它成为 $5$ 的倍数

The number is $202100 + A;$ even $A$ makes it even, and $A = 5$ makes it a multiple of $5$

大提示：

$A = 1$ 和 $A = 7$ 时数字和是 $3$ 的倍数，并且 $202103 = 11 \cdot 18373$ 。

For $A = 1$ and $A = 7$ the digit sum is a multiple of $3,$ and $202103 = 11 \cdot 18373$

解答：

这个数是 $202100 + A$ 。任何偶数 $A$ 都会使它为偶数，而 $A = 5$ 时它能被 $5$ 整除，所以 $A$ 必须是奇数且不是 $5$ 。

$A = 1$ 时数字和为 $6$ （能被 $3$ 整除）； $A = 7$ 时数字和为 $12$ （能被 $3$ 整除）；并且 $202103 = 11 \cdot 18373$ 。只有 $202109$ 通过这些检验，而它是质数。

所以正确答案是 E。

The number is $202100 + A.$ Any even $A$ makes it even, and $A = 5$ makes it divisible by $5,$ so $A$ must be odd and not $5.$

For $A = 1$ the digit sum is $6$ (divisible by $3$ ); for $A = 7$ the digit sum is $12$ (divisible by $3$ ); and $202103 = 11 \cdot 18373.$ Only $202109$ survives all tests, and it is prime.

Thus, the correct answer is E.

5.

鸸鹋 Elmer 在乡村道路上相邻两根电线杆之间行走需要 $44$ 个等长步幅。鸵鸟 Oscar 用 $12$ 个等长跃步可以走完同一距离。电线杆等距排列，这条路上的第 $41$ 根电线杆距离第一根电线杆正好一英里（ $5280$ 英尺）。Oscar 的一个跃步比 Elmer 的一个步幅长多少英尺？

Elmer the emu takes $44$ equal strides to walk between consecutive telephone poles on a rural road. Oscar the ostrich can cover the same distance in $12$ equal leaps. The telephone poles are evenly spaced, and the $41$ st pole along this road is exactly one mile ( $5280$ feet) from the first pole. How much longer, in feet, is Oscar’s leap than Elmer’s stride?

$6$

$8$

$10$

$11$

$15$

知识点：植树问题比与比例

难度评级：1270

小提示：

从第一根到第 $41$ 根电线杆共有 $40$ 个间隔，所以每个间隔长 $\dfrac{5280}{40}$ 英尺

From the first pole to the $41$ st pole there are $40$ gaps, so each gap is $\dfrac{5280}{40}$ feet

大提示：

Elmer 的步幅是一个间隔除以 $44$ ；Oscar 的跃步是一个间隔除以 $12$ 。

Elmer’s stride is one gap divided by $44;$ Oscar’s leap is one gap divided by $12$

解答：

第一根和第 $41$ 根电线杆之间有 $40$ 个间隔，所以每个间隔长 $\dfrac{5280}{40} = 132$ 英尺。

Elmer 的步幅为 $\dfrac{132}{44} = 3$ 英尺，Oscar 的跃步为 $\dfrac{132}{12} = 11$ 英尺，差为 $11 - 3 = 8$ 英尺。

所以正确答案是 B。

There are $40$ gaps between the first and $41$ st poles, so each gap is $\dfrac{5280}{40} = 132$ feet.

Elmer’s stride is $\dfrac{132}{44} = 3$ feet and Oscar’s leap is $\dfrac{132}{12} = 11$ feet, a difference of $11 - 3 = 8$ feet.

Thus, the correct answer is B.

6.

如下图所示，点 $E$ 位于直线 $CD$ 所确定的、与点 $A$ 相反的半平面内，且 $\angle CDE = 110^\circ$ 。点 $F$ 在 $\overline{AD}$ 上，使得 $DE = DF$ ，并且 $ABCD$ 是正方形。 $\angle AFE$ 的度数是多少？

As shown in the figure below, point $E$ lies on the opposite half-plane determined by line $CD$ from point $A$ so that $\angle CDE = 110^\circ.$ Point $F$ lies on $\overline{AD}$ so that $DE = DF,$ and $ABCD$ is a square. What is the degree measure of $\angle AFE?$

$160$

$164$

$166$

$170$

$174$

知识点：导角等腰三角形正方形（几何）

难度评级：1350

小提示：

在点 $D$ 处，三角形的这个角等于 $360^\circ$ 减去 $\angle ADC+\angle CDE$

Around point $D,$ the triangle’s angle is $360^\circ$ minus $\angle ADC+\angle CDE$

大提示：

三角形 $DFE$ 是等腰三角形，且 $DF = DE$ ，所以两个底角相等

Triangle $DFE$ is isosceles with $DF = DE,$ so its two base angles are equal

解答：

因为 $ABCD$ 是正方形， $\angle ADC = 90^\circ$ 。又因为 $E$ 与 $A$ 在直线 $CD$ 的两侧，射线 $DE$ 越过了 $DC$ ，所以三角形 $DFE$ 在 $D$ 处的角（其中 $F$ 在 $\overline{AD}$ 上）为 $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ$ 。

因为 $DF = DE$ ，三角形 $DFE$ 是等腰三角形，其底角 $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ$ 。

因为 $A$ 、 $F$ 、 $D$ 共线，所以 $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ$ 。

所以正确答案是 D。

Because $ABCD$ is a square, $\angle ADC = 90^\circ.$ Since $E$ and $A$ lie on opposite sides of line $CD,$ ray $DE$ is swung past $DC,$ so the angle of triangle $DFE$ at $D$ (with $F$ on $\overline{AD}$ ) is $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ.$

Since $DF = DE,$ triangle $DFE$ is isosceles with base angles $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.$

As $A,$ $F,$ $D$ are collinear, $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

7.

一所学校有 $100$ 名学生和 $5$ 名老师。第一节课中，每名学生上一门课，每名老师教一门课。五门课的人数分别为 $50$ ， $20$ ， $20$ ， $5$ ，和 $5$ 。随机选一名老师，记录其班级的学生人数，所得数值的平均值记为 $t$ 。随机选一名学生，记录其所在班级的学生人数（包括这名学生本人），所得数值的平均值记为 $s$ 。 $t - s$ 是多少？

A school has $100$ students and $5$ teachers. In the first period, each student is taking one class, and each teacher is teaching one class. The enrollments in the classes are $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ and $5.$ Let $t$ be the average value obtained if a teacher is picked at random and the number of students in their class is noted. Let $s$ be the average value obtained if a student was picked at random and the number of students in their class, including the student, is noted. What is $t - s?$

$-18.5$

$-13.5$

$0$

$13.5$

$18.5$

知识点：平均数期望值

难度评级：1410

小提示：

$t$ 是对 $5$ 个班级的普通平均： $\dfrac{50+20+20+5+5}{5}$ 。

$t$ is a plain average over the $5$ classes: $\dfrac{50+20+20+5+5}{5}$

大提示：

对于 $s$ ，每个大小为 $n$ 的班级会被计数 $n$ 次： $s = \dfrac{\sum n^2}{100}$ 。

For $s,$ each class of size $n$ is counted $n$ times: $s = \dfrac{\sum n^2}{100}$

解答：

老师平均值为 $t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}$ $= \dfrac{100}{5} = 20$ 。

学生平均值按每个班级中的学生人数给班级人数加权： $\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5 \end{aligned}\text{。}$

所以 $t - s = 20 - 33.5 = -13.5$ 。

所以正确答案是 B。

The teacher average is $t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}$ $= \dfrac{100}{5} = 20.$

The student average weights each class size by how many students are in it: $\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5. \end{aligned}$

So $t - s = 20 - 33.5 = -13.5.$

Thus, the correct answer is B.

8.

令 $M$ 为从 $10$ 到 $30$ （含端点）所有整数的最小公倍数。令 $N$ 为 $M$ ， $32$ ， $33$ ， $34$ ， $35$ ， $36$ ， $37$ ， $38$ ， $39$ 和 $40$ 的最小公倍数。 $\dfrac{N}{M}$ 的值是多少？

Let $M$ be the least common multiple of all the integers $10$ through $30,$ inclusive. Let $N$ be the least common multiple of $M,$ $32,$ $33,$ $34,$ $35,$ $36,$ $37,$ $38,$ $39,$ and $40.$ What is the value of $\dfrac{N}{M}?$

$1$

$2$

$37$

$74$

$2886$

知识点：最小公倍数质因数分解

难度评级：1440

小提示：

$M$ 已经含有 $2^4, 3^3, 5^2, 7$ ，以及不超过 $29$ 的所有质数；检查 $32$ 至 $40$ 会新增什么

$M$ already contains $2^4, 3^3, 5^2, 7,$ and all primes up to $29;$ check what $32$ – $40$ add

大提示：

$32 = 2^5$ 提高了 $2$ 的幂次，且 $37$ 是新的质数；没有其他新增内容

$32 = 2^5$ raises the power of $2,$ and $37$ is a new prime; nothing else is new

解答：

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ 含有 $2^4$ （来自 $16$ ）， $3^3$ （来自 $27$ ）， $5^2$ （来自 $25$ ）， $7$ ，以及直到 $29$ 的每个质数。

在 $32, \ldots, 40$ 中，唯一的新贡献是 $32 = 2^5$ ，它把 $2$ 的幂次从 $2^4$ 提高到 $2^5$ ，以及新的质数 $37$ 。其他数都只分解成 $M$ 中已经有的质数和幂次。

因此 $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74$ 。

所以正确答案是 D。

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ contains $2^4$ (from $16$ ), $3^3$ (from $27$ ), $5^2$ (from $25$ ), $7,$ and every prime up to $29.$

Among $32, \ldots, 40,$ the only new contributions are $32 = 2^5,$ which raises the power of $2$ from $2^4$ to $2^5,$ and the new prime $37.$ Everything else factors into primes and powers already in $M.$

Therefore $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.$

Thus, the correct answer is D.

9.

一个长方体的表面积和体积在数值上相等，它的边长为 $\log_2 x$ ， $\log_3 x$ ，和 $\log_4 x$ 。 $x$ 是多少？

A right rectangular prism whose surface area and volume are numerically equal has edge lengths $\log_2 x,$ $\log_3 x,$ and $\log_4 x.$ What is $x?$

$2\sqrt{6}$

$6\sqrt{6}$

$24$

$48$

$576$

知识点：表面积体积对数

难度评级：1500

小提示：

若边长为 $a, b, c$ ，方程 $abc = 2(ab + bc + ca)$ 可化为 $1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)$

With edges $a, b, c,$ the equation $abc = 2(ab + bc + ca)$ divides to $1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)$

大提示：

$\dfrac{1}{\log_2 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_3 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_4 x}$ $= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4$ $= \log_x 24$ 。

$\dfrac{1}{\log_2 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_3 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_4 x}$ $= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4$ $= \log_x 24$

解答：

令 $a = \log_2 x$ ， $b = \log_3 x$ ， $c = \log_4 x$ 。表面积等于体积给出 $2(ab + bc + ca) = abc$ 。两边除以 $abc$ ，得 $1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\text{。}$

因为 $\dfrac{1}{a} = \log_x 2$ ，等等，所以和为 $\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24$ 。于是 $1 = 2\log_x 24$ ，所以 $\log_x 24 = \tfrac{1}{2}$ ，即 $x^{\frac{1}{2}} = 24$ ，从而 $x = 576$ 。

所以正确答案是 E。

Let $a = \log_2 x,$ $b = \log_3 x,$ $c = \log_4 x.$ Surface area equals volume gives $2(ab + bc + ca) = abc.$ Dividing by $abc,$ $1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).$

Since $\dfrac{1}{a} = \log_x 2,$ etc., the sum is $\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24.$ Thus $1 = 2\log_x 24,$ so $\log_x 24 = \tfrac{1}{2},$ meaning $x^{\frac{1}{2}} = 24$ and $x = 576.$

Thus, the correct answer is E.

10.

数 $N$ 以九为底的表示为 $27{,}006{,}000{,}052_9$ 。 $N$ 除以 $5$ 的余数是多少？

The base-nine representation of the number $N$ is $27{,}006{,}000{,}052_9.$ What is the remainder when $N$ is divided by $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

知识点：模运算进制

难度评级：1560

小提示：

$9 \equiv -1 \pmod 5$ ，所以 $9^k \equiv (-1)^k \pmod 5$

$9 \equiv -1 \pmod 5,$ so $9^k \equiv (-1)^k \pmod 5$

大提示：

从右往左对以九为底的数字取交错和

Take the alternating sum of the base-nine digits (from the right)

解答：

因为 $9 \equiv -1 \pmod 5$ ，所以每个幂 $9^k \equiv (-1)^k$ ，因此 $N$ 同余于其以九为底的数字的交错和。

非零数字及其从右往左的位置为： $2$ （位置 $0$ ）， $5$ （位置 $1$ ）， $6$ （位置 $6$ ）， $7$ （位置 $9$ ），以及 $2$ （位置 $10$ ）。交错和为 $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5$ 。

所以正确答案是 D。

Since $9 \equiv -1 \pmod 5,$ each power $9^k \equiv (-1)^k,$ so $N$ is congruent to the alternating sum of its base-nine digits.

The nonzero digits, with their positions from the right, are $2$ (position $0$ ), $5$ (position $1$ ), $6$ (position $6$ ), $7$ (position $9$ ), and $2$ (position $10$ ). The alternating sum is $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5.$

Thus, the correct answer is D.

11.

考虑两个同心圆，半径分别为 $17$ 和 $19$ 。较大的圆有一条弦，其中一半位于较小圆内。这条较大圆中的弦长是多少？

Consider two concentric circles of radius $17$ and $19.$ The larger circle has a chord, half of which lies inside the smaller circle. What is the length of the chord in the larger circle?

$12\sqrt{2}$

$10\sqrt{3}$

$\sqrt{17 \cdot 19}$

$18$

$8\sqrt{6}$

知识点：弦勾股定理

难度评级：1590

小提示：

设弦到圆心的距离为 $d$ 。它的半长是 $\sqrt{19^2 - d^2}$ ，在小圆内的部分半长是 $\sqrt{17^2 - d^2}$ 。

Let the chord be at distance $d$ from the center. Its half-length is $\sqrt{19^2 - d^2},$ and the part inside the small circle has half-length $\sqrt{17^2 - d^2}$

大提示：

“一半位于小圆内”表示内部部分等于整条弦的一半： $2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}$ 。

“Half lies inside” means the inside portion equals half the whole chord: $2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}$

解答：

设这条弦到共同圆心的距离为 $d$ 。它的总长度为 $2\sqrt{361 - d^2}$ ，位于较小圆内的部分长度为 $2\sqrt{289 - d^2}$ 。

因为弦的一半位于小圆内， $2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}$ 。平方得 $4(289 - d^2) = 361 - d^2$ ，所以 $3d^2 = 795$ ， $d^2 = 265$ 。

弦长为 $2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}$ 。

所以正确答案是 E。

Let the chord lie at distance $d$ from the common center. Its total length is $2\sqrt{361 - d^2},$ and the portion inside the smaller circle has length $2\sqrt{289 - d^2}.$

Since half the chord lies inside, $2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.$ Squaring gives $4(289 - d^2) = 361 - d^2,$ so $3d^2 = 795$ and $d^2 = 265.$

The chord length is $2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.$

Thus, the correct answer is E.

12.

下式的展开式共有 $1001$ 项，其中系数为有理数的项有多少个？ $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}\text{？}$

What is the number of terms with rational coefficients among the $1001$ terms in the expansion of $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

$0$

$166$

$167$

$500$

$501$

知识点：二项式定理整除性

难度评级：1630

小提示：

指数为 $k$ 的项带有 $2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}}$ ；要有理，需要 $1000 - k$ 是 $3$ 的倍数，且 $k$ 是 $2$ 的倍数。

The term for index $k$ carries $2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}};$ rationality needs $1000 - k$ to be a multiple of $3$ and $k$ to be a multiple of $2$

大提示：

这些条件给出 $k \equiv 1 \pmod 3$ 且 $k$ 为偶数，即 $k \equiv 4 \pmod 6$ 。

These force $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, i.e. $k \equiv 4 \pmod 6$

解答：

通项为 $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k}$ ，其系数含有 $2^{\frac{1000-k}{3}}$ 和 $3^{\frac{k}{2}}$ 。它有理当且仅当 $(1000 - k)$ 是 $3$ 的倍数且 $k$ 为偶数。

因为 $1000 \equiv 1 \pmod 3$ ，所以需要 $k \equiv 1 \pmod 3$ 且 $k$ 为偶数，合并得 $k \equiv 4 \pmod 6$ 。有效值为 $k = 4, 10, \ldots, 1000$ ，共有 $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167$ 个。

所以正确答案是 C。

The general term is $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},$ whose coefficient contains $2^{\frac{1000-k}{3}}$ and $3^{\frac{k}{2}}.$ This is rational exactly when $(1000 - k)$ is a multiple of $3$ and $k$ is even.

Since $1000 \equiv 1 \pmod 3,$ we need $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, which combine to $k \equiv 4 \pmod 6.$ The valid values $k = 4, 10, \ldots, 1000$ number $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.$

Thus, the correct answer is C.

13.

直线 $y = x$ 与 $y = 3x$ 的图像在原点形成的锐角的角平分线方程为 $y = kx$ 。 $k$ 是多少？

The angle bisector of the acute angle formed at the origin by the graphs of the lines $y = x$ and $y = 3x$ has equation $y = kx.$ What is $k?$

$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}$

$2$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

知识点：角平分线向量分母有理化

难度评级：1660

小提示：

角平分线方向是两条直线方向单位向量之和： $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}$

A bisector direction is the sum of unit vectors along the two lines: $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}$

大提示：

$k$ 是（第二个分量）/（第一个分量）；再有理化结果

$k$ is the ratio (second component)/(first component); rationalize the result

解答：

角平分线沿两条直线的单位方向向量之和： $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}$ 。它的斜率为 $k = \frac{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{3}{\sqrt{10}}}{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt5 + 3}{\sqrt5 + 1}\text{。}$

分子分母同乘 $\sqrt5 - 1$ ，得 $\dfrac{(\sqrt5 + 3)(\sqrt5 - 1)}{4}$ $= \dfrac{2 + 2\sqrt5}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt5}{2}$ 。

所以正确答案是 A。

The bisector points along the sum of the unit vectors of the two lines: $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}.$ Its slope is $k = \frac{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{3}{\sqrt{10}}}{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt5 + 3}{\sqrt5 + 1}.$

Multiplying numerator and denominator by $\sqrt5 - 1$ gives $\dfrac{(\sqrt5 + 3)(\sqrt5 - 1)}{4}$ $= \dfrac{2 + 2\sqrt5}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt5}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

14.

如图，等边六边形 $ABCDEF$ 有三个互不相邻的锐内角，每个都是 $30^\circ$ 。该六边形围成的面积为 $6\sqrt{3}$ 。这个六边形的周长是多少？

In the figure, equilateral hexagon $ABCDEF$ has three nonadjacent acute interior angles that each measure $30^\circ.$ The enclosed area of the hexagon is $6\sqrt{3}.$ What is the perimeter of the hexagon?

$4$

$4\sqrt{3}$

$12$

$18$

$12\sqrt{3}$

知识点：面积分割三角学

难度评级：1730

小提示：

设边长为 $s$ 。三个 $30^\circ$ 尖端是腰长为 $s$ 的等腰三角形；它们位于三个凹角顶点形成的内三角形的边上

Let the side be $s.$ The three $30^\circ$ tips are isosceles triangles with legs $s;$ they sit on the sides of the inner triangle formed by the three reflex vertices

大提示：

每个尖端面积为 $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ$ ，内侧等边三角形边长为 $2s\sin 15^\circ$ 。

Each tip has area $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ,$ and the inner equilateral triangle has side $2s\sin 15^\circ$

解答：

设公共边长为 $s$ 。三个锐角顶点是三个等腰三角形的尖端，这些三角形的两边为 $s$ ，顶角为 $30^\circ$ ；每个面积为 $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}$ 。

三个凹角顶点形成一个内侧等边三角形，边长为 $2s\sin 15^\circ$ ，面积为 $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ$ 。利用 $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4}$ ，总面积为 $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}\text{。}$

令 $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ ，得 $s^2 = 12$ ，所以 $s = 2\sqrt3$ ，周长为 $6s = 12\sqrt3$ 。

所以正确答案是 E。

Let the common side length be $s.$ The three acute vertices are the tips of isosceles triangles with two sides $s$ and apex $30^\circ;$ each has area $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.$

The three reflex vertices form an inner equilateral triangle with side $2s\sin 15^\circ,$ whose area is $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ.$ Using $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4},$ the total area is $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.$

Setting $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ gives $s^2 = 12,$ so $s = 2\sqrt3$ and the perimeter is $6s = 12\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

15.

回忆：复数 $w = a + bi$ （其中 $a$ 和 $b$ 为实数， $i = \sqrt{-1}$ ）的共轭是复数 $\overline{w} = a - bi$ 。对任意复数 $z$ ，令 $f(z) = 4i\overline{z}$ 。多项式 $P(z) = z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1$ 有四个复根： $z_1$ 、 $z_2$ 、 $z_3$ 和 $z_4$ 。设 $\begin{aligned} &Q(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 \\ &\quad {}+ Cz + D \end{aligned}$ 是以 $f(z_1)$ 、 $f(z_2)$ 、 $f(z_3)$ 和 $f(z_4)$ 为根的多项式，其中系数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 都是复数。 $B + D$ 是多少？

Recall that the conjugate of the complex number $w = a + bi,$ where $a$ and $b$ are real numbers and $i = \sqrt{-1},$ is the complex number $\overline{w} = a - bi.$ For any complex number $z,$ let $f(z) = 4i\overline{z}.$ The polynomial $P(z) = z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1$ has four complex roots: $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ and $z_4.$ Let $\begin{aligned} &Q(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 \\ &\quad {}+ Cz + D \end{aligned}$ be the polynomial whose roots are $f(z_1),$ $f(z_2),$ $f(z_3),$ and $f(z_4),$ where the coefficients $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are complex numbers. What is $B + D?$

$-304$

$-208$

$12i$

$208$

$304$

知识点：韦达定理复数

难度评级：1800

小提示：

$\overline{z_j}$ 的基本对称式是 $z_j$ 的对应对称式的共轭； $P$ 的系数全为实数，所以这些对称和也是实数

The elementary symmetric functions of $\overline{z_j}$ are the conjugates of those of $z_j;$ all of $P$ ’s coefficients are real, so those symmetric sums are real

大提示：

$B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ ，且 $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j}$

$B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ and $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j}$

解答：

对 $P$ ，使用韦达定理， $\sum_{i\lt j} z_iz_j = 3$ ，且 $\prod z_j = 1$ ，二者都是实数，所以它们的共轭仍为 $3$ 和 $1$ 。

$Q$ 的根为 $4i\overline{z_j}$ 。于是 $B$ 是两两乘积之和： $B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ $= -16 \cdot 3 = -48$ 。且 $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j} = 256 \cdot 1 = 256$ 。

所以 $B + D = -48 + 256 = 208$ 。

所以正确答案是 D。

By Vieta on $P,$ $\sum_{i\lt j} z_iz_j = 3$ and $\prod z_j = 1,$ both real, so their conjugates are also $3$ and $1.$

The roots of $Q$ are $4i\overline{z_j}.$ Then $B$ is the sum of products of pairs: $B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ $= -16 \cdot 3 = -48.$ And $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j} = 256 \cdot 1 = 256.$

So $B + D = -48 + 256 = 208.$

Thus, the correct answer is D.

16.

一个组织有 $30$ 名员工，其中 $20$ 人使用 A 品牌电脑，另外 $10$ 人使用 B 品牌电脑。出于安全原因，电脑只能彼此相连，且只能用电缆连接。电缆只能把一台 A 品牌电脑和一台 B 品牌电脑相连。如果两名员工的电脑直接由电缆相连，或可以通过一系列相连的电脑转发消息，则他们可以相互通信。最初没有任何电脑与其他电脑相连。一名技术员任意选择一台每种品牌的电脑，并在它们之间安装电缆，前提是这对电脑之间还没有电缆。技术员在每名员工都能相互通信时停止。最多可能使用多少根电缆？

An organization has $30$ employees, $20$ of whom have a brand A computer while the other $10$ have a brand B computer. For security, the computers can only be connected to each other and only by cables. The cables can only connect a brand A computer to a brand B computer. Employees can communicate with each other if their computers are directly connected by a cable or by relaying messages through a series of connected computers. Initially, no computer is connected to any other. A technician arbitrarily selects one computer of each brand and installs a cable between them, provided there is not already a cable between that pair. The technician stops once every employee can communicate with each other. What is the maximum possible number of cables used?

$190$

$191$

$192$

$195$

$196$

知识点：图论极端原理

难度评级：1840

小提示：

为了尽量延迟连通，尽可能久地保持图不连通，然后最后一根电缆把所有部分连接起来

To delay connectivity, keep the graph disconnected as long as possible, then one final cable joins everything

大提示：

在仍不连通的情况下，最多边数来自 $19$ 台 A 品牌和 $10$ 台 B 品牌形成的完全二分图，另留一台 A 品牌电脑孤立

The most edges while still disconnected is a complete bipartite graph on $19$ brand A and $10$ brand B, leaving one brand A computer isolated

解答：

技术员不断加电缆，直到图变为连通。为了最大化电缆数，要让网络尽可能久地保持不连通：留下一台 A 品牌电脑孤立，并把其余 $19$ 台 A 品牌电脑与全部 $10$ 台 B 品牌电脑完全相连。

这样在仍不连通时使用了 $19 \cdot 10 = 190$ 根电缆。下一根电缆连接最后一台 A 品牌电脑，使所有人连通，总数为 $190 + 1 = 191$ 。

所以正确答案是 B。

The technician keeps adding cables until the graph becomes connected. To maximize the count, keep the network disconnected for as long as possible: leave a single brand A computer isolated and fully connect the remaining $19$ brand A computers to all $10$ brand B computers.

That uses $19 \cdot 10 = 190$ cables while still disconnected. The next cable connects the last brand A computer, joining everyone, for a total of $190 + 1 = 191.$

Thus, the correct answer is B.

17.

有多少个正整数有序对 $(b, c)$ ，使得 $x^2 + bx + c = 0$ 和 $x^2 + cx + b = 0$ 都没有两个不同的实数解？

For how many ordered pairs $(b, c)$ of positive integers does neither $x^2 + bx + c = 0$ nor $x^2 + cx + b = 0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$12$

$16$

知识点：二次方程不等式

难度评级：1910

小提示：

“没有两个不同的实数解”表示每个判别式都 $\le 0$ ： $b^2 \le 4c$ 且 $c^2 \le 4b$ 。

“No two distinct real solutions” means each discriminant is $\le 0:$ $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b$

大提示：

相乘得 $b^2c^2 \le 16bc$ ，所以 $bc \le 16$ ；检验小的正整数

Multiplying gives $b^2c^2 \le 16bc,$ so $bc \le 16;$ test small positive integers

解答：

两个二次方程都没有两个不同实根，当且仅当两个判别式都非正： $b^2 \le 4c$ 且 $c^2 \le 4b$ 。

把 $c\ge \frac{b^2}{4}$ 与 $c\le2\sqrt b$ 结合，得到 $b^{\frac{3}{2}}\le8$ ，所以 $b\le4$ 。逐一检查： $b = 1$ 时 $c \in \{1,2\}$ ； $b = 2$ 时 $c \in \{1,2\}$ ； $b = 3$ 时 $c = 3$ ； $b = 4$ 时 $c = 4$ 。

这些为 $(1,1)$ 、 $(1,2)$ 、 $(2,1)$ 、 $(2,2)$ 、 $(3,3)$ 、 $(4,4)$ ，共 $6$ 个有序对。

所以正确答案是 B。

Neither quadratic has two distinct real roots exactly when both discriminants are nonpositive: $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b.$

Combining $c\ge \frac{b^2}{4}$ with $c\le2\sqrt b$ gives $b^{\frac{3}{2}}\le8,$ so $b\le4.$ Checking: $b = 1$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ gives $c = 3;$ and $b = 4$ gives $c = 4.$

That is $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ — $6$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

18.

将 $20$ 个球各自独立随机地投入 $5$ 个箱子之一。设 $p$ 为某个箱子最终有 $3$ 个球、另一个箱子有 $5$ 个球、其余三个箱子各有 $4$ 个球的概率。设 $q$ 为每个箱子最终都有 $4$ 个球的概率。 $\dfrac{p}{q}$ 是多少？

Each of $20$ balls is tossed independently and at random into one of $5$ bins. Let $p$ be the probability that some bin ends up with $3$ balls, another with $5$ balls, and the other three with $4$ balls each. Let $q$ be the probability that every bin ends up with $4$ balls. What is $\dfrac{p}{q}?$

$1$

$4$

$8$

$12$

$16$

知识点：基本概率多重集排列

难度评级：1990

小提示：

两个概率都有相同的 $5^{20}$ 分母，所以 $\dfrac{p}{q}$ 是计数之比

Both probabilities share the same $5^{20}$ denominator, so $\dfrac{p}{q}$ is a ratio of counts

大提示：

$q$ 使用 $\dfrac{20!}{(4!)^5}$ ； $p$ 使用 $5\cdot 4$ 种特殊箱子的选择，再乘以 $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}$

$q$ uses $\dfrac{20!}{(4!)^5};$ $p$ uses $5\cdot 4$ choices of the special bins times $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}$

解答：

两个概率都除以 $5^{20}$ ，所以 $\dfrac{p}{q}$ 是排列计数之比。

对于 $q$ ，所有箱子都有 $4$ 个球，计数为 $\dfrac{20!}{(4!)^5}$ 。对于 $p$ ，选择哪个箱子有 $3$ 个、哪个箱子有 $5$ 个有 $5\cdot 4 = 20$ 种，再乘以 $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}$ 。因此 $\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

Both probabilities divide by $5^{20},$ so $\dfrac{p}{q}$ is a ratio of arrangement counts.

For $q,$ all bins have $4:$ $\dfrac{20!}{(4!)^5}.$ For $p,$ choose which bin has $3$ and which has $5$ in $5\cdot 4 = 20$ ways, times $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

19.

令 $x$ 为大于 $1$ 的最小实数，使得 $\sin(x) = \sin(x^2)$ ，其中角度单位为度。将 $x$ 向上取整到最接近的整数是多少？

Let $x$ be the least real number greater than $1$ such that $\sin(x) = \sin(x^2),$ where the arguments are in degrees. What is $x$ rounded up to the closest integer?

$10$

$13$

$14$

$19$

$20$

知识点：三角学二次方程

难度评级：2040

小提示：

$\sin x = \sin x^2$ 要求 $x^2 = x + 360k$ 或 $x^2 = 180 - x + 360k$ ，其中 $k$ 为整数

$\sin x = \sin x^2$ requires $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for an integer $k$

大提示：

最小的 $x \gt 1$ 来自 $x^2 = 180 - x$ （其中 $k = 0$ ）

The smallest $x \gt 1$ comes from $x^2 = 180 - x$ (with $k = 0$ )

解答：

正弦值相等要求对某个整数 $k$ 有 $x^2 = x + 360k$ 或 $x^2 = 180 - x + 360k$ 。

方程族 $x^2 = x + 360k$ 第一次超过 $1$ 出现在 $k = 1$ ，给出 $x \approx 19.5$ 。方程族 $x^2 = 180 - x + 360k$ 在 $k = 0$ 时给出 $x^2 + x - 180 = 0$ ，所以 $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93$ ，这更小。

向上取整后， $x = 13$ 。

所以正确答案是 B。

Equal sines require $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for some integer $k.$

The family $x^2 = x + 360k$ first exceeds $1$ at $k = 1,$ giving $x \approx 19.5.$ The family $x^2 = 180 - x + 360k$ with $k = 0$ gives $x^2 + x - 180 = 0,$ so $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,$ which is smaller.

Rounded up, $x = 13.$

Thus, the correct answer is B.

20.

对每个正整数 $n$ ，令 $f_1(n)$ 为 $n$ 的正整数因数个数的两倍；对 $j \ge 2$ ，令 $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n))$ 。有多少个 $n \le 50$ 满足 $f_{50}(n) = 12$ ？

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

知识点：因数个数递推

难度评级：2110

小提示：

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12$ ，所以 $12$ 是不动点； $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ 也是不动点

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,$ so $12$ is a fixed point; $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ is another

大提示：

足够多步之后，每个 $n$ 都会落到 $8$ 或 $12$ ；数出轨道到达 $12$ 的那些

After enough steps every $n$ lands on $8$ or $12;$ count those whose orbit reaches $12$

解答：

$8$ 和 $12$ 都是不动点。对 $n\le50$ ，第一个值 $f_1(n)=2d(n)$ 至多为 $20$ 。检查不超过 $20$ 的偶数可知，一个轨道恰好在第一个值为 $12,18$ 或 $20$ 时到达 $12$ 。所以需要 $d(n)=6,9$ 或 $10$ 。

不超过 $50$ 且有 $6$ 个因数的数是 $12,18,20,28,32,44,45,50$ ；有 $9$ 个因数的唯一一个数是 $36$ ，有 $10$ 个因数的唯一一个数是 $48$ 。这 $10$ 个值都到达不动点 $12$ 。

因此，正确答案是 D。

Both $8$ and $12$ are fixed. For $n\le50,$ the first value $f_1(n)=2d(n)$ is at most $20.$ Checking the even values through $20$ shows that an orbit reaches $12$ exactly when its first value is $12,18,$ or $20.$ Thus we need $d(n)=6,9,$ or $10.$

The numbers at most $50$ with $6$ divisors are $12,18,20,28,32,44,45,50;$ the only one with $9$ divisors is $36,$ and the only one with $10$ divisors is $48.$ These $10$ values all reach the fixed point $12.$

Thus, the correct answer is D.

21.

设 $ABCD$ 是等腰梯形，满足 $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ 且 $AB = CD$ 。点 $X$ 和 $Y$ 在对角线 $\overline{AC}$ 上，且 $X$ 在 $A$ 和 $Y$ 之间，如图所示。已知 $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ$ 、 $AX = 3$ 、 $XY = 1$ ，且 $YC = 2$ 。 $ABCD$ 的面积是多少？

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ and $AB = CD.$ Points $X$ and $Y$ lie on diagonal $\overline{AC}$ with $X$ between $A$ and $Y,$ as shown in the figure. Suppose $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,$ $AX = 3,$ $XY = 1,$ and $YC = 2.$ What is the area of $ABCD?$

$15$

$5\sqrt{11}$

$3\sqrt{35}$

$18$

$7\sqrt{7}$

知识点：坐标几何梯形鞋带公式

难度评级：2170

小提示：

把 $A, X, Y, C$ 放在一条水平线上，且 $AX = 3$ 、 $XY = 1$ 、 $YC = 2$ 。于是 $D$ 在 $X$ 的竖直下方， $B$ 在 $Y$ 的竖直上方

Place $A, X, Y, C$ on a horizontal line with $AX = 3,$ $XY = 1,$ $YC = 2.$ Then $D$ is vertically below $X$ and $B$ vertically above $Y$

大提示：

利用 $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$ 和 $AB = CD$ 关联 $B$ 与 $D$ 的高度，再用鞋带公式

Use $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$ and $AB = CD$ to relate the heights of $B$ and $D,$ then apply the shoelace formula

解答：

令 $A = (0,0)$ ， $X = (3,0)$ ， $Y = (4,0)$ ， $C = (6,0)$ 。直角条件给出 $D = (3, t)$ ，且 $B = (4, s)$ ，它们在 $AC$ 的两侧。

平行关系 $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ 强制 $t = -\tfrac{3}{2}s$ ，而 $AB = CD$ 给出 $16 + s^2 = 9 + t^2$ ，所以 $t^2 - s^2 = 7$ 。代入得 $s^2 = \tfrac{28}{5}$ 。

鞋带公式给出面积 $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}$ 。

所以正确答案是 C。

Put $A = (0,0),$ $X = (3,0),$ $Y = (4,0),$ $C = (6,0).$ The right angles give $D = (3, t)$ and $B = (4, s)$ on opposite sides of $AC.$

Parallelism $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ forces $t = -\tfrac{3}{2}s,$ and $AB = CD$ gives $16 + s^2 = 9 + t^2,$ so $t^2 - s^2 = 7.$ Substituting yields $s^2 = \tfrac{28}{5}.$

The shoelace formula gives area $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Azar 和 Carl 玩井字棋。Azar 先在一个 $3$ 乘 $3$ 方格阵列中的某个格子放一个 $X$ ，然后 Carl 在剩余格子之一放一个 $O$ 。之后 Azar 在剩余格子之一放一个 $X$ ，依此类推，直到所有 $9$ 个格子都被填满，或者某一位玩家有 $3$ 个自己的符号横向、纵向或对角线连成一行；此时游戏立即停止，该玩家获胜。假设玩家随机落子，而不是试图遵循理性策略，并且 Carl 在放下第三个 $O$ 时赢得游戏。游戏结束后棋盘可能有多少种样子？

Azar and Carl play a game of tic-tac-toe. Azar places an $X$ in one of the boxes in a $3$ -by- $3$ array of boxes, then Carl places an $O$ in one of the remaining boxes. After that, Azar places an $X$ in one of the remaining boxes, and so on until all $9$ boxes are filled or one of the players has $3$ of their symbols in a row — horizontal, vertical, or diagonal — whichever comes first, in which case that player wins the game. Suppose the players make their moves at random, rather than trying to follow a rational strategy, and that Carl wins the game when he places his third $O.$ How many ways can the board look after the game is over?

$36$

$112$

$120$

$148$

$160$

知识点：分类讨论组合补集计数

难度评级：2270

小提示：

最终棋盘有三个 $O$ 连成一行，且三个 $X$ 不能自己也连成一行

The final board has three $O$ s forming a line and three $X$ s that must not themselves form a line

大提示：

按 $O$ 的连线是行/列还是对角线分情况，因为这会改变 $X$ 的放置中有多少会意外成行

Split into cases by whether $O$ ’s line is a row/column or a diagonal, since that changes how many $X$ placements accidentally make a row

解答：

Carl 在第三个 $O$ 时获胜，所以棋盘上有三个 $O$ 形成 $8$ 条线之一，另有三个 $X$ 在其余六个格子中。 $X$ 不能成一行（否则 Azar 已经先赢了）。

若 $O$ 的线是某一行或某一列（ $6$ 种选择），剩下六个格子包含两条完整线，所以有效 $X$ 放法数为 $\binom{6}{3} - 2 = 18$ 。若 $O$ 的线是对角线（ $2$ 种选择），剩下六个格子不包含完整线，有 $\binom{6}{3} = 20$ 种。

总数为 $6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148$ 。

所以正确答案是 D。

Carl wins on his third $O,$ so the board has three $O$ s forming one of the $8$ lines and three $X$ s in the other six cells. The $X$ s must not form a line (else Azar would have won first).

If the $O$ line is a row or column ( $6$ choices), the remaining six cells contain two full lines, so valid $X$ placements number $\binom{6}{3} - 2 = 18.$ If the $O$ line is a diagonal ( $2$ choices), the remaining six cells contain no full line, giving $\binom{6}{3} = 20.$

The total is $6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148.$

Thus, the correct answer is D.

23.

首项系数为 $1$ 、且系数为实数的二次多项式称为“无礼”的，如果方程 $p(p(x)) = 0$ 恰好有三个实数解。在所有无礼二次多项式中，有唯一一个多项式 $\tilde{p}(x)$ ，使得其根的和最大。 $\tilde{p}(1)$ 是多少？

A quadratic polynomial with real coefficients and leading coefficient $1$ is called disrespectful if the equation $p(p(x)) = 0$ is satisfied by exactly three real numbers. Among all the disrespectful quadratic polynomials, there is a unique such polynomial $\tilde{p}(x)$ for which the sum of the roots is maximized. What is $\tilde{p}(1)?$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$1$

$\dfrac{9}{8}$

知识点：多项式二次方程最优化

难度评级：2380

小提示：

若 $p$ 的根为 $r, s$ 则 $p(p(x)) = 0$ 表示 $p(x) = r$ 或 $p(x) = s$ ；恰有三个根要求其中一个方程有重根

If $p$ has roots $r, s,$ then $p(p(x)) = 0$ means $p(x) = r$ or $p(x) = s;$ exactly three roots requires one of these to have a double root

大提示：

在 $(r - s)^2 + 4s = 0$ 下令 $u = r - s$ ，最大化 $r + s = -\tfrac{u^2}{2} + u$ 。

With $(r - s)^2 + 4s = 0$ and letting $u = r - s,$ maximize $r + s = -\tfrac{u^2}{2} + u$

解答：

设 $p$ 的根为 $r$ 和 $s$ 。那么 $p(p(x)) = 0$ 分解成 $p(x) = r$ 与 $p(x) = s$ ，两个判别式分别为 $(r - s)^2 + 4r$ 和 $(r - s)^2 + 4s$ 。恰有三个实根意味着一个判别式为 $0$ ，另一个为正。

取 $(r - s)^2 + 4s = 0$ ，并令 $u = r - s$ 。则 $s = -\tfrac{u^2}{4}$ ，另一个判别式为 $4u$ ，所以 $u>0$ 。此外， $r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u$ ，它在 $u=1$ 时达到最大值，此时 $r=\tfrac34$ 且 $s=-\tfrac14$ 。

所以 $\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right)$ ，并且 $\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $p$ have roots $r$ and $s.$ Then $p(p(x)) = 0$ splits into $p(x) = r$ and $p(x) = s,$ with discriminants $(r - s)^2 + 4r$ and $(r - s)^2 + 4s.$ Exactly three real roots means one discriminant is $0$ and the other positive.

Take $(r - s)^2 + 4s = 0$ and set $u = r - s.$ Then $s = -\tfrac{u^2}{4}$ and the other discriminant is $4u,$ so $u>0.$ Also $r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u,$ maximized at $u=1,$ giving $r=\tfrac34$ and $s=-\tfrac14.$

So $\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right),$ and $\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is A.

24.

凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB = 18$ 、 $\angle A = 60^\circ$ ，且 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 。四条边的长度按某种顺序构成一个等差数列，并且边 $AB$ 是最大长度的边。另一条边的长度为 $a$ 。所有可能的 $a$ 值之和是多少？

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ and $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side $AB$ is a side of maximum length. The length of another side is $a.$ What is the sum of all possible values of $a?$

$24$

$42$

$60$

$66$

$84$

知识点：梯形等差数列分类讨论

难度评级：2520

小提示：

因为 $AB = 18$ 是最大值，四边长为 $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d$ ；令 $A = (0,0)$ ， $B = (18,0)$ ，并把 $D$ 放在 $60^\circ$ 方向上

With $AB = 18$ the maximum, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d;$ place $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D$ at angle $60^\circ$

大提示：

对三条较短边分配给 $BC, CD, DA$ 的每种方式，要求 $\overline{CD}$ 水平并解出 $d$ ；还要包括公差 $d = 0$ 的情形

For each assignment of the three smaller lengths to $BC, CD, DA,$ impose that $\overline{CD}$ is horizontal and solve for $d;$ also include common difference $d = 0$

解答：

因为 $AB = 18$ 是最大边，四条边为 $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d$ 。取 $A = (0,0)$ ， $B = (18,0)$ ， $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ ，其中 $m=DA$ ，令 $n=CD$ 且 $\ell=BC$ 。则 $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2})$ ，所以 $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n) \end{aligned}\text{。}$

令 $u_j=18-jd$ ，其中 $j=1,2,3$ 。将 $(u_1,u_2,u_3)$ 的排列 $123,132,213,231,312,321$ 依次代入 $(m,n,\ell)$ ，得到非零候选值 $d=18,2,9,5,6,6$ ，因为 $u_3$ 为正要求 $d<6$ ，所以只留下 $d=2$ 和 $d=5$ 。情形 $d=0$ 也给出一个有效的菱形。

因此边长集合为 $\{18,16,14,12\}$ ， $\{18,13,8,3\}$ ，和 $\{18,18,18,18\}$ 。

非 $AB$ 边长的可能值为 $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\}$ ，其和为 $84$ 。

因此，正确答案是 E。

Since $AB = 18$ is the largest, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Placing $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ with $m=DA,$ let $n=CD$ and $\ell=BC.$ Then $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),$ so $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}$

Write $u_j=18-jd$ for $j=1,2,3.$ Substituting the permutations $123,132,213,231,312,321$ of $(u_1,u_2,u_3)$ for $(m,n,\ell)$ gives the nonzero candidates $d=18,2,9,5,6,6,$ respectively. Positivity of $u_3$ requires $d<6,$ leaving only $d=2$ and $d=5.$ The case $d=0$ also gives a valid rhombus.

Thus the side sets are $\{18,16,14,12\},$ $\{18,13,8,3\},$ and $\{18,18,18,18\}.$

The possible values of a non- $AB$ side length are $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ whose sum is $84.$

Thus, the correct answer is E.

25.

令 $m \ge 5$ 为奇整数，并令 $D(m)$ 表示满足下列条件的四元组 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ 的个数：四个分量是互不相同的整数，且对所有 $i$ 都有 $1 \le a_i \le m$ ，并且 $m$ 整除 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ 。存在一个多项式 $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ 使得对所有奇整数 $m \ge 5$ 都有 $D(m) = q(m)$ 。 $c_1$ 是多少？

Let $m \ge 5$ be an odd integer, and let $D(m)$ denote the number of quadruples $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ of distinct integers with $1 \le a_i \le m$ for all $i$ such that $m$ divides $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ There is a polynomial $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ such that $D(m) = q(m)$ for all odd integers $m \ge 5.$ What is $c_1?$

$-6$

$-1$

$4$

$6$

$11$

知识点：模运算单位根多项式

难度评级：2650

小提示：

先数出所有和为 $0\pmod m$ 的有序剩余类四元组，再对坐标相等的情形做容斥

First count all ordered residue quadruples summing to $0\pmod m,$ then use inclusion-exclusion on equal coordinates

大提示：

把坐标重合的情形按一对相等、两对相等、三个相等、四个全相等来分类； $m$ 为奇数保证了乘以 $2$ 和乘以 $4$ 都可逆

Group collision patterns as one pair, two pairs, a triple, or all four equal; odd $m$ makes multiplication by $2$ and $4$ invertible

解答：

把 $1,2,\ldots,m$ 看作模 $m$ 的全部剩余类。若不要求各分量互不相同，则前三个分量可以任取，第四个分量随之唯一确定，于是共有 $m^3$ 个有序四元组。

按哪些坐标相等来划分并做容斥，即可得到其余各项。恰有一对坐标相等的选法有 $6$ 种，每种留下 $m^2$ 组解，共贡献 $-6m^2$ 。 $3$ 种“两对相等”的划分贡献 $+3m$ 。 $4$ 种“三个相等加一个单独”的划分的容斥系数为 $2$ ，贡献 $+8m$ 。最后，四个全相等的划分系数为 $-6$ ，且只有一组解。（这里 $m$ 为奇数保证了 $2$ 和 $4$ 模 $m$ 可逆。）因此 $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3) \end{aligned}\text{。}$ 于是 $c_1=11$ 。

所以正确答案是 E。

Regard $1,2,\ldots,m$ as all residues modulo $m.$ Without the distinctness condition, the first three entries are arbitrary and the fourth is determined, giving $m^3$ ordered quadruples.

Inclusion-exclusion over equal-coordinate partitions gives the remaining terms. There are $6$ choices of one equal pair, each leaving $m^2$ solutions, for $-6m^2.$ The $3$ two-pair partitions contribute $+3m.$ The $4$ triple-and-single partitions have inclusion-exclusion coefficient $2$ and contribute $+8m.$ Finally, the all-equal partition has coefficient $-6$ and one solution. (Here odd $m$ makes $2$ and $4$ invertible modulo $m.$ ) Therefore $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Hence $c_1=11.$

Thus, the correct answer is E.