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2021 AMC 12B Spring 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

设 SS 是坐标平面中的格点集合，其两个坐标都是从 11 到 3030 的整数（含端点）。SS 中恰有 300300 个点位于方程为 y=mxy=mx 的直线上或其下方。mm 的可能值构成一个长度为 ab\dfrac{a}{b} 的区间，其中 aa 和 bb 是互质正整数。a+ba+b 是多少？

Let SS be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between 11 and 30,30, inclusive. Exactly 300300 points in SS lie on or below a line with equation y=mx.y=mx. The possible values of mm lie in an interval of length ab,\dfrac{a}{b}, where aa and bb are relatively prime positive integers. What is a+b?a+b?

3131

4747

6262

7272

8585

答案：E
知识点：格点取整函数
难度评级：2600
小提示：

对给定的 mm，第 xx 列贡献 min⁡(30,⌊mx⌋)\min(30,\lfloor mx\rfloor) 个位于该直线上或其下方的点

For a given m,m, column xx contributes min⁡(30,⌊mx⌋)\min(30,\lfloor mx\rfloor) points at or below the line

大提示：

随着 mm 增大，计数会在斜率 yx\tfrac{y}{x} 处跳变；找出夹住计数 300300 的两个相邻跳变斜率

As mm increases, the count jumps at slopes yx;\tfrac{y}{x}; find the two consecutive such slopes bracketing a count of 300300

解答：

对斜率 mm，第 xx 列（其中 1≤x≤301\le x\le 30）贡献 min⁡(30,⌊mx⌋)\min(30,\lfloor mx\rfloor) 个在直线 y=mxy=mx 上或其下方的点，我们需要总数等于 300300。

在 m=23m=\tfrac23 时，3030 的上限尚未起作用，并且 ∑x=130⌊2x3⌋=300\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300。计数会保持不变，直到遇到下一个更大的斜率 yx\frac{y}{x}，其中 x≤30x\le30。

若 yx>23\frac{y}{x}>\frac{2}{3}，则 3y−2x3y-2x 是正整数。最接近的情形满足 3y−2x=13y-2x=1；在约束 x≤30x\le30 下取满足这个同余式的最大横坐标，得到 (y,x)=(19,28)(y,x)=(19,28)。若这个正整数至少为 22，斜率差会更大。因此，所求区间是 [23,1928)[\tfrac23,\tfrac{19}{28})，长度为 1928−23=184\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}。

因为 gcd⁡(1,84)=1\gcd(1,84)=1，所以 a+b=1+84=85a+b=1+84=85。

所以正确答案是 E。

For slope m,m, column xx (with 1≤x≤301\le x\le 30) contributes min⁡(30,⌊mx⌋)\min(30,\lfloor mx\rfloor) points on or below y=mx,y=mx, and we need the total to equal 300.300.

At m=23,m=\tfrac23, the cap at 3030 is inactive and ∑x=130⌊2x3⌋=300.\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300. The count remains fixed until the next larger slope yx\frac{y}{x} with x≤30.x\le30.

If yx>23,\frac{y}{x}>\frac{2}{3}, then 3y−2x3y-2x is a positive integer. The closest possibility has 3y−2x=1;3y-2x=1; maximizing x≤30x\le30 in this congruence gives (y,x)=(19,28).(y,x)=(19,28). Any numerator at least 22 gives a larger gap. Hence the interval is [23,1928),[\tfrac23,\tfrac{19}{28}), whose length is 1928−23=184.\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.

Since gcd⁡(1,84)=1,\gcd(1,84)=1, a+b=1+84=85.a+b=1+84=85.

Thus, the correct answer is E.

第 24 题#24
完整试卷

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