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1981 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

在附图的三角形 ABCABC 中，ADAD 和 AEAE 将 ∠BAC\angle BAC 三等分。BDBD、DEDE、ECEC 的长度分别为 22、33、66。△ABC\triangle ABC 的最短边长度为

In triangle ABCABC in the adjoining figure, ADAD and AEAE trisect ∠BAC.\angle BAC. The lengths of BD,BD, DE,DE, and ECEC are 2,2, 3,3, and 6,6, respectively. The length of the shortest side of △ABC\triangle ABC is

2102\sqrt{10}

1111

666\sqrt6

66

根据已知信息无法唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：A
知识点：角平分线定理余弦定理导角
难度评级：2210
小提示：

设三个相等的角均为 α\alpha，并对适当的子三角形应用角平分线定理

Let the three equal angles be α\alpha, and apply the angle-bisector theorem to a suitable subtriangle

大提示：

在三个相邻三角形中写出 cos⁡α\cos\alpha 的余弦定理表达式，并令它们相等

Equate law-of-cosines expressions for cos⁡α\cos\alpha in the three adjacent triangles

解答：

令 AB=cAB=c、AD=yAD=y、AC=bAC=b、AE=zAE=z。由于 ADAD 平分 ∠BAE\angle BAE，且 AEAE 平分 ∠DAC\angle DAC，角平分线定理给出 cz=23,yb=36， \frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6}\text{，}所以 z=3c2z=\frac{3c}{2}，且 b=2yb=2y。分别对三角形 ADBADB、ADEADE 和 AECAEC 应用余弦定理，并令它们共有的 cos⁡α\cos\alpha 值相等，得到 3c2−2y2=12,9c2−8y2=−72。 \begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72 \end{gathered}\text{。}因此 y2=54y^2=54，且 c2=40c^2=40。三边分别为 AB=210AB=2\sqrt{10}、BC=11BC=11、AC=254=66AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6，所以最短边为 2102\sqrt{10}。

所以正确答案是 A。

Let AB=c,AB=c, AD=y,AD=y, AC=b,AC=b, and AE=z.AE=z. Since ADAD bisects ∠BAE,\angle BAE, and AEAE bisects ∠DAC,\angle DAC, the angle-bisector theorem gives cz=23,yb=36, \frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6}, so z=3c2z=\frac{3c}{2} and b=2y.b=2y. Applying the law of cosines to triangles ADB,ADB, ADE,ADE, and AECAEC and equating their common cos⁡α\cos\alpha values gives 3c2−2y2=12,9c2−8y2=−72. \begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered} Hence y2=54y^2=54 and c2=40.c^2=40. The sides are AB=210,AB=2\sqrt{10}, BC=11,BC=11, and AC=254=66,AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6, so the shortest is 210.2\sqrt{10}.

Therefore, the correct answer is A.

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