Question

在三角形 $ABC$ 中， $\angle ABC=120^\circ$ 、 $AB=3$ ，且 $BC=4$ 。过 $A$ 作 $\overline{AB}$ 的垂线，过 $C$ 作 $\overline{BC}$ 的垂线，两条垂线交于 $D$ ，则 $CD=$

In triangle $ABC,$ $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=3,$ and $BC=4.$ If perpendiculars constructed to $\overline{AB}$ at $A$ and to $\overline{BC}$ at $C$ meet at $D,$ then $CD=$

$3$

$\frac8{\sqrt3}$

$5$

$\frac{11}{2}$

$\frac{10}{\sqrt3}$

答案：E

知识点：坐标几何 perpendicular lines distance

难度评级：2110

小提示：

取 $B=(0,0)$ 、 $A=(3,0)$

Place $B=(0,0)$ and $A=(3,0)$

大提示：

利用 $120^\circ$ 角确定 $C$ 的位置，再参数化过 $C$ 且垂直于 $BC$ 的直线

Use the $120^\circ$ angle to locate $C,$ then parametrize the line through $C$ perpendicular to $BC$

解答：

取 $B=(0,0)$ 、 $A=(3,0)$ ，则 $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3) \end{aligned}\text{。}$ 过 $A$ 且垂直于 $AB$ 的直线为 $x=3$ 。与 $BC=(-2,2\sqrt3)$ 垂直的一个向量是 $(\sqrt3,1)$ ，所以另一条垂线为 $C+t(\sqrt3,1)$ 。当 $t=\frac{5}{\sqrt3}$ 时，其 $x$ 坐标为 $3$ 。由于 $|(\sqrt3,1)|=2$ ，可得 $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}\text{。}$

因此正确答案是 E。

Set $B=(0,0)$ and $A=(3,0).$ Then $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}$ The perpendicular to $AB$ at $A$ is $x=3.$ A vector perpendicular to $BC=(-2,2\sqrt3)$ is $(\sqrt3,1),$ so the other perpendicular is $C+t(\sqrt3,1).$ Its $x$ -coordinate is $3$ when $t=\frac{5}{\sqrt3}.$ Since $|(\sqrt3,1)|=2,$ $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.$

Thus the correct answer is E.

1992 AMC 12 第 25 题

答案：E

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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