Question

求使 $1005!$ 能被 $10^n$ 整除的最大正整数 $n$ 。

Determine the largest positive integer $n$ such that $1005!$ is divisible by $10^n.$

$102$

$112$

$249$

$502$

以上均不正确

none of these

答案：E

知识点：阶乘末尾零勒让德公式

难度评级：1560

小提示：

计算 $1005!$ 中因数 $5$ 的个数

Count the factors of $5$ in $1005!$

大提示：

不要遗漏 $25$ 、 $125$ 和 $625$ 的倍数所贡献的因数

Include contributions from multiples of $25,$ $125,$ and $625$

解答：

因数 $2$ 比因数 $5$ 多，所以 $10$ 的指数为 $\begin{aligned} n={}&\left\lfloor\frac{1005}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{25}\right\rfloor\\ &+\left\lfloor\frac{1005}{125}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{625}\right\rfloor\\ ={}&201+40+8+1=250 \end{aligned}\text{。}$ 由于选项中没有 $250$ ，正确选项是“以上均不正确”。

因此，正确答案是 E。

There are more factors of $2$ than of $5,$ so the exponent of $10$ is $\begin{aligned} n={}&\left\lfloor\frac{1005}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{25}\right\rfloor\\ &+\left\lfloor\frac{1005}{125}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1005}{625}\right\rfloor\\ ={}&201+40+8+1=250. \end{aligned}$ Since $250$ is not listed, the correct choice is “none of these.”

Therefore, the correct answer is E.

1977 AMC 12 第 25 题

答案：E

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题