Question

对每个奇数 $p\gt1$ ，都有：

For every odd number $p\gt1$ we have:

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ 能被 $p-2$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-2$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ 能被 $p$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ 能被 $p$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ 能被 $p+1$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p+1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ 能被 $p-1$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-1$

答案：A

知识点：整除性模运算指数

难度评级：1500

小提示：

对选项 (A) 模 $p-2$ 计算

Work modulo $p-2$ for choice (A)

大提示：

因为 $p-1\equiv1\pmod{p-2}$ ，每个正整数次幂都有相同的余数

Since $p-1\equiv1\pmod{p-2},$ every positive power has the same residue

解答：

因为 $p\gt1$ 为奇数，所以 $n=\frac{p-1}{2}$ 是正整数。模 $p-2$ 时，有 $p-1\equiv1$ 。因此 $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2} \end{aligned}\text{。}$ 所以选项 (A) 总是成立。

因此，正确答案是 A。

Because $p\gt1$ is odd, $n=\frac{p-1}{2}$ is a positive integer. Modulo $p-2,$ we have $p-1\equiv1.$ Therefore $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}$ Thus choice (A) always holds.

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 第 25 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题