Question

若只使用表中信息 $10^3=1000$ 、 $10^4=10{,}000$ 、 $2^{10}=1024$ 、 $2^{11}=2048$ 、 $2^{12}=4096$ 、 $2^{13}=8192$ ，则关于 $\log_{10}2$ 能作出的最强结论是它位于下列哪两个数之间？

If one uses only the tabular information $10^3=1000,$ $10^4=10{,}000,$ $2^{10}=1024,$ $2^{11}=2048,$ $2^{12}=4096,$ $2^{13}=8192,$ then the strongest statement one can make for $\log_{10}2$ is that it lies between:

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ 与 $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ and $\dfrac{40}{132}$

答案：C

知识点：对数不等式极限情形界定

难度评级：1710

小提示：

比较 $10^3$ 与 $2^{10}$ ，求下界

Compare $10^3$ with $2^{10}$ for a lower bound

大提示：

比较 $2^{13}$ 与 $10^4$ ，求上界

Compare $2^{13}$ with $10^4$ for an upper bound

解答：

由 $10^3\lt2^{10}$ 可得 $3\lt10\log_{10}2$ ，所以 $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}$ 。由 $2^{13}\lt10^4$ 可得 $13\log_{10}2\lt4$ ，所以 $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}$ 。这是表中信息能够推出的选项中最窄的区间。

因此，正确答案是 C。

From $10^3\lt2^{10}$ we get $3\lt10\log_{10}2,$ so $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.$ From $2^{13}\lt10^4$ we get $13\log_{10}2\lt4,$ so $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}.$ This is the narrowest listed interval justified by the table.

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题