Question

给定同一平面内的三角形 $ABC$ 和点 $P$ 。点 $P$ 到 $A$ 与 $B$ 的距离相等，角 $APB$ 是角 $ACB$ 的两倍，并且 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BP}$ 交于点 $D$ 。若 $PB=3$ 且 $PD=2$ ，则 $AD\cdot CD=$

Triangle $ABC$ and point $P$ in the same plane are given. Point $P$ is equidistant from $A$ and $B,$ angle $APB$ is twice angle $ACB,$ and $\overline{AC}$ intersects $\overline{BP}$ at point $D.$ If $PB=3$ and $PD=2,$ then $AD\cdot CD=$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

答案：A

知识点：circles 圆幂

难度评级：2170

小提示：

作以 $P$ 为圆心并经过 $A$ 、 $B$ 的圆

Draw the circle centered at $P$ through $A$ and $B$

大提示：

圆心角条件说明 $C$ 也在这个圆上，因此可在 $D$ 点应用相交弦定理

The central-angle condition puts $C$ on that circle, so apply intersecting chords at $D$

解答：

因为 $PA=PB$ ，作以 $P$ 为圆心并经过这两点的圆。条件 $\angle APB=2\angle ACB$ 正是圆心角与圆周角的关系，所以 $C$ 也在同一个圆上。直线 $PB$ 与圆的另一个交点记为 $E$ ，则 $PE=3$ 。由点 $D$ 的幂可得 $\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5 \end{aligned}\text{。}$ 因此正确答案是 A。

Because $PA=PB,$ draw their circle with center $P.$ The condition $\angle APB=2\angle ACB$ is the central-inscribed angle relation, so $C$ lies on the same circle. Along line $PB,$ the other circle intersection is $E$ with $PE=3.$ Power of $D$ gives $\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5. \end{aligned}$ Thus A is correct.

1997 AMC 12 第 26 题

答案：A

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题