Question

若一个 $n$ 位正整数的 $n$ 个数字是集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的一种排列，并且其前 $k$ 位组成的整数能被 $k$ 整除，其中 $k=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $n$ ，则称它为可爱数。例如， $321$ 是一个 $3$ 位可爱数，因为 $1$ 整除 $3$ 、 $2$ 整除 $32$ ，且 $3$ 整除 $321$ 。共有多少个 $6$ 位可爱数？

An $n$ -digit positive integer is cute if its $n$ digits are an arrangement of the set $\{1,2,\ldots,n\}$ and its first $k$ digits form an integer that is divisible by $k,$ for $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ For example, $321$ is a cute $3$ -digit integer because $1$ divides $3,$ $2$ divides $32,$ and $3$ divides $321.$ How many cute $6$ -digit integers are there?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：整除性排列 case analysis

难度评级：2270

小提示：

第二位必须为偶数，前三位的数字和必须能被 $3$ 整除，前四位必须能被 $4$ 整除

The second digit must be even, the third-prefix digit sum must be divisible by $3,$ and the fourth prefix must be divisible by $4$

大提示：

第五位必须为 $5$ ，整个数必须为偶数且能被 $3$ 整除

The fifth digit must be $5,$ and the full number must be even and divisible by $3$

解答：

能被 $5$ 整除迫使第五位为 $5$ 。能被 $2$ 和 $6$ 整除迫使第二位和第六位为偶数。接着依次应用整除规则：前三位的数字和必须能被 $3$ 整除，由第三位和第四位组成的两位数必须能被 $4$ 整除。检查集合 $\{1,2,3,4,6\}$ 中余下数字的排列，只剩 $123654$ 和 $321654$ 。直接检验可知，这两个数都满足全部六个前缀整除条件，所以共有 $2$ 个。

因此正确答案为 C。

Divisibility by $5$ forces the fifth digit to be $5.$ Divisibility by $2$ and $6$ forces the second and sixth digits to be even. Now apply the divisibility tests successively: the first three digits must have sum divisible by $3,$ and the two-digit number formed by the third and fourth digits must be divisible by $4.$ Checking the remaining choices from $\{1,2,3,4,6\}$ leaves $123654$ and $321654.$ Each number directly satisfies all six prefix divisibility conditions, so there are $2.$

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题