Question

当 $x$ 为实数时，求函数 $\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48} \end{aligned}$ 所能取得的最大正值。

Find the largest positive value attained by the function $\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48}, \end{aligned}$ $x$ a real number.

$\sqrt7-1$

$3$

$2\sqrt3$

$4$

$\sqrt{55}-\sqrt5$

答案：C

知识点：radical function domain maximizing expression

难度评级：2080

小提示：

利用公因式 $8-x$ 分解两个根式中的被开方数。

Factor both radicands using the common factor $8-x$

大提示：

在定义域 $6\le x\le8$ 上，将 $\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})$ 有理化。

On the domain $6\le x\le8,$ rationalize $\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})$

解答：

两个根式同时为实数当且仅当 $6\le x\le8$ 。分解并有理化，得到 $\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}} \end{aligned}\text{。}$ 在此区间内，分子递减而分母递增，所以最大值在 $x=6$ 时取得，其值为 $f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3\text{。}$ 因此正确答案是 C。

Both radicals are real exactly when $6\le x\le8.$ Factoring and rationalizing, $\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}}. \end{aligned}$ On this interval the numerator decreases while the denominator increases, so the maximum occurs at $x=6.$ Its value is $f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3.$ Thus the correct answer is C.

1993 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题