Question

若一个完全平方数的 $8$ 进制表示为 $ab3c$ ，其中 $a\ne0$ ，则 $c$ 为

If the base $8$ representation of a perfect square is $ab3c,$ where $a\ne0,$ then $c$ is

$0$

$1$

$3$

$4$

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：B

知识点：模运算完全平方数进制二次剩余

难度评级：1860

小提示：

模 $64$ 时，只需考虑最后两位 $8$ 进制数字

Only the last two base- $8$ digits matter modulo $64$

大提示：

列出介于 $30_8$ 与 $37_8$ 之间的模 $64$ 二次剩余

List the quadratic residues modulo $64$ that lie between $30_8$ and $37_8$

解答：

最后两位八进制数字 $3c_8$ 表示 $24+c\pmod{64}$ 。在 $24,\ldots,31$ 范围内，模 $64$ 的平方数只有 $25$ 。因此 $24+c=25$ ，所以 $c=1$ 。

因此，正确答案为 B。

The last two octal digits $3c_8$ represent $24+c\pmod{64}.$ Squares modulo $64$ in the range $24,\ldots,31$ include only $25.$ Thus $24+c=25,$ so $c=1.$

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题