Question

要在坐标平面内构造一个直角三角形，使它的两条直角边分别平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴，并使连接直角顶点与两条直角边中点的中线分别位于直线 $y=3x+1$ 和 $y=mx+2$ 上。能使这样的三角形存在的不同常数 $m$ 的个数是

It is desired to construct a right triangle in the coordinate plane so that its legs are parallel to the $x$ and $y$ axes and so that the medians to the midpoints of the legs lie on the lines $y=3x+1$ and $y=mx+2.$ The number of different constants $m$ for which such a triangle exists is

$0$

$1$

$2$

$3$

多于 $3$

more than $3$

答案：C

知识点：坐标几何 median 斜率 construction

难度评级：2230

小提示：

将直角边平行于坐标轴的直角三角形放在便于计算的位置，并求出通向两条直角边中点的两条中线的斜率

Place an axis-aligned right triangle at convenient coordinates and compute the slopes of the two medians to its legs

大提示：

两条中线斜率的比值为 $4$ ；注意给定的任一条直线都可能是斜率绝对值较大的那一条

The two slopes differ by a factor of $4;$ remember that either given line could be the steeper one

解答：

将直角顶点置于 $(0,0)$ ，另两个顶点分别置于 $(a,0)$ 和 $(0,b)$ 。通向两条直角边中点的中线斜率分别为 $-\frac{2b}{a}$ 和 $-\frac{b}{2a}$ ，二者之比为 $4$ 。因此，若一条中线的斜率为 $3$ ，另一条的斜率可以为 $12$ 或 $\frac{3}{4}$ 。两种情况都能实现：先选取具有所需两条斜率的三角形，再将它的重心平移到两条给定直线的交点即可。因此 $m$ 有两个可能值。

因此正确答案是 C。

Place the right-angle vertex at $(0,0)$ and the other vertices at $(a,0)$ and $(0,b).$ The medians to the legs have slopes $-\frac{2b}{a}$ and $-\frac{b}{2a},$ whose ratio is $4.$ Therefore, if one median has slope $3,$ the other can have slope $12$ or $\frac{3}{4}.$ Both occur: choose a triangle with the required pair of slopes and translate its centroid to the intersection of the two specified lines. Thus there are two possible values of $m.$

Therefore the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题