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1984 AMC 12 第 26 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

26.

在钝角三角形 ABCABC 中，AM=MBAM=MB、MD⊥BCMD\perp BC、EC⊥BCEC\perp BC。若 △ABC\triangle ABC 的面积为 2424，则 △BED\triangle BED 的面积为

In the obtuse triangle ABC,ABC, AM=MB,AM=MB, MD⊥BC,MD\perp BC, EC⊥BC.EC\perp BC. If the area of △ABC\triangle ABC is 24,24, then the area of △BED\triangle BED is

99

1212

1515

1818

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：B
知识点：三角形面积中点面积分割
难度评级：1960
小提示：

连接线段 MCMC，并比较 △DMC\triangle DMC 与 △DME\triangle DME

Draw segment MCMC and compare △DMC\triangle DMC with △DME\triangle DME

大提示：

这两个三角形具有相同的底 MDMD 和相等的高；此外，MM 是 ABAB 的中点

Those triangles have the same base MDMD and equal altitudes; also MM is the midpoint of ABAB

解答：

连接 MCMC。由于 EC∥MDEC\parallel MD，点 EE 和 CC 到 MDMD 的垂直距离相等，所以 [DME]=[DMC][DME]=[DMC]。因此 [BED]=[BMD]+[DME]=[BMD]+[DMC]=[BMC]。 \begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC] \end{aligned}\text{。}因为 MM 是 ABAB 的中点，所以三角形 BMCBMC 的面积是 ABCABC 面积的一半。因此 [BED]=12[BED]=12。

所以正确答案是 B。

Draw MC.MC. Since EC∥MD,EC\parallel MD, points EE and CC have equal perpendicular distances from MD,MD, so [DME]=[DMC].[DME]=[DMC]. Therefore [BED]=[BMD]+[DME]=[BMD]+[DMC]=[BMC]. \begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned} Because MM is the midpoint of AB,AB, triangle BMCBMC has half the area of ABC.ABC. Thus [BED]=12.[BED]=12.

Therefore, the correct answer is B.

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