Question

在图示圆中， $M$ 是弧 $\overset{\frown}{CAB}$ 的中点，线段 $MP$ 在 $P$ 点垂直于弦 $AB$ 。若弦 $AC$ 的长度为 $x$ ，线段 $AP$ 的长度为 $x+1$ ，则线段 $PB$ 的长度等于：

In the circle shown, $M$ is the midpoint of arc $\overset{\frown}{CAB},$ and segment $MP$ is perpendicular to chord $AB$ at $P.$ If the measure of chord $AC$ is $x$ and that of segment $AP$ is $x+1,$ then segment $PB$ has measure equal to:

$3x+2$

$3x+1$

$2x+3$

$2x+2$

$2x+1$

答案：E

知识点：弧弦矩形对称性

难度评级：2230

小提示：

在 $M$ 与 $B$ 之间取新点 $N$ ，使弧 $\overset{\frown}{MN}$ 等于弧 $\overset{\frown}{CA}$

Copy arc $\overset{\frown}{CA}$ to an arc $\overset{\frown}{MN}$ ending at a new point $N$ between $M$ and $B$

大提示：

作 $NQ\perp AB$ ；利用等弧找出一个矩形和相等的水平端线段

Drop $NQ\perp AB$ ; use equal arcs to identify a rectangle and equal horizontal end segments

解答：

在弧 $\overset{\frown}{MB}$ 上取点 $N$ ，使弧 $\overset{\frown}{MN}$ 与 $\overset{\frown}{CA}$ 相等，并作 $NQ\perp AB$ 。于是 $MN=AC=x$ 。其余两段等弧 $\overset{\frown}{AM}$ 与 $\overset{\frown}{NB}$ 在弦上的对应投影相等，所以 $QB=AP=x+1$ 。又因为 $MNPQ$ 是矩形，故 $PQ=MN=x$ 。因此 $\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Choose $N$ on arc $\overset{\frown}{MB}$ so that arcs $\overset{\frown}{MN}$ and $\overset{\frown}{CA}$ are equal, and drop $NQ\perp AB.$ Then $MN=AC=x.$ The remaining equal arcs $\overset{\frown}{AM}$ and $\overset{\frown}{NB}$ give equal corresponding chord projections, so $QB=AP=x+1.$ Also $MNPQ$ is a rectangle, hence $PQ=MN=x.$ Therefore $\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 第 26 题

答案：E

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题