Question

在四边形 $ABCD$ 中，已知 $\angle A=120^\circ$ ，角 $B$ 和角 $D$ 均为直角， $AB=13$ ，且 $AD=46$ 。则 $AC=$

In quadrilateral $ABCD,$ it is given that $\angle A=120^\circ,$ angles $B$ and $D$ are right angles, $AB=13,$ and $AD=46.$ Then $AC=$

$60$

$62$

$64$

$65$

$72$

答案：B

知识点：cyclic quadrilaterals 余弦定理 circumradius

难度评级：2010

小提示：

两个直角说明 $ABCD$ 是以 $AC$ 为直径的圆内接四边形

The two right angles make $ABCD$ cyclic with $AC$ as a diameter

大提示：

先在三角形 $ABD$ 中求出 $BD$ ，再使用正弦定理的推广形式

Find $BD$ in triangle $ABD$ , then use the extended law of sines

解答：

因为 $\angle B+\angle D=180^\circ$ ，四边形为圆内接四边形，且 $AC$ 是其直径。在三角形 $ABD$ 中， $\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2 \end{aligned}\text{。}$ 由正弦定理的推广形式， $AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}$ $=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62$ 。所以正确答案是 B。

Because $\angle B+\angle D=180^\circ,$ the quadrilateral is cyclic, and $AC$ is its diameter. In triangle $ABD,$ $\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}$ By the extended law of sines, $AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}$ $=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.$ Thus B is correct.

1998 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题