Question

连接一个立方体相邻各面的中心，形成一个正八面体。该八面体与立方体的体积之比为

A regular octahedron is formed by joining the centers of adjoining faces of a cube. The ratio of the volume of the octahedron to the volume of the cube is

$\frac{\sqrt3}{12}$

$\frac{\sqrt6}{16}$

$\frac16$

$\frac{\sqrt2}{8}$

$\frac14$

答案：C

知识点：正方体多面体体积

难度评级：1940

小提示：

将立方体的边长缩放为 $2$ ，并把它的中心置于原点

Scale the cube to side length $2$ and place its center at the origin

大提示：

该八面体的顶点为 $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$

The octahedron has vertices $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$

解答：

取边长为 $2$ 的立方体，则其体积为 $8$ 。各面的中心为 $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$ 。在每个卦限中，八面体截出一个三条互相垂直的棱长均为单位长度的四面体，其体积为 $\frac{1}{6}$ 。所以八面体的体积为 $8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3}$ ，所求体积比为 $\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}$ 。

所以正确答案是 C。

Take a cube of side $2,$ so its volume is $8.$ The face centers are $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1).$ In each octant, the octahedron cuts out a tetrahedron with three perpendicular unit edges and volume $\frac{1}{6}.$ Thus its volume is $8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3},$ and the ratio is $\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.$

Thus the correct answer is C.

1989 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题