Question

把 $2.5$ 均匀随机地分成两个非负实数，例如分成 $2.143$ 与 $0.357$ ，或分成 $\sqrt3$ 与 $2.5-\sqrt3$ 。然后把每个数四舍五入到最接近的整数。例如在第一种情形中得到 $2$ 与 $0$ ，在第二种情形中得到 $2$ 与 $1$ 。这两个整数之和为 $3$ 的概率是多少？

The amount $2.5$ is split into two nonnegative real numbers uniformly at random, for instance, into $2.143$ and $0.357,$ or into $\sqrt3$ and $2.5-\sqrt3.$ Then each number is rounded to its nearest integer, for instance, $2$ and $0$ in the first case above, $2$ and $1$ in the second. What is the probability that the two integers sum to $3?$

$\frac14$

$\frac25$

$\frac12$

$\frac35$

$\frac34$

答案：B

知识点：continuous probability rounding interval length

难度评级：1980

小提示：

令第一个数为 $x$ ，它在 $[0,2.5]$ 上均匀分布

Let the first number be $x$ uniformly distributed on $[0,2.5]$

大提示：

找出使 $x$ 与 $2.5-x$ 四舍五入后所得整数之和为 $3$ 的区间

Find the intervals on which $x$ and $2.5-x$ round to integers whose sum is $3$

解答：

令第一部分为 $x\in[0,2.5]$ ，则第二部分为 $2.5-x$ 。忽略概率为零的端点，四舍五入后的两个数之和恰为 $3$ 的条件是 $\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{或}\\ \frac32\lt x\lt2 \end{gathered}\text{。}$ 这两个区间的总长度为 $1$ ，而样本区间的长度为 $2.5$ 。因此所求概率为 $\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the first part be $x\in[0,2.5],$ so the second is $2.5-x.$ Ignoring endpoints of probability zero, the rounded values sum to $3$ exactly when $\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{or}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}$ These intervals have total length $1,$ out of a sample interval of length $2.5.$ The probability is therefore $\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.$

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题