Question

设 $m$ 为正整数，且直线 $13x+11y=700$ 与 $y=mx-1$ 交于一个坐标均为整数的点。则 $m$ 可以是：

Let $m$ be a positive integer and let the lines $13x+11y=700$ and $y=mx-1$ intersect in a point whose coordinates are integers. Then $m$ can be:

仅 $4$

$4$ only

仅 $5$

$5$ only

仅 $6$

$6$ only

仅 $7$

$7$ only

整数 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 之一以及另一个正整数

one of the integers $4,$ $5,$ $6,$ $7$ and one other positive integer

答案：C

知识点：丢番图方程整除性一次方程

难度评级：1650

小提示：

将 $y=mx-1$ 代入第一条直线的方程

Substitute $y=mx-1$ into the first line

大提示：

要使 $x$ 为整数， $13+11m$ 必须整除 $711$

For integer $x,$ the number $13+11m$ must divide $711$

解答：

代入得 $(13+11m)x=711\text{。}$ 因此 $13+11m$ 必须是 $711=3^2\cdot79$ 的正因数。在大于 $13$ 的因数中，只有 $79$ 与 $13\pmod{11}$ 同余。因此 $13+11m=79$ ，所以 $m=6$ 。

因此，正确答案是 C。

Substitution gives $(13+11m)x=711.$ Thus $13+11m$ must be a positive divisor of $711=3^2\cdot79.$ Among divisors greater than $13,$ only $79$ is congruent to $13\pmod{11}.$ Hence $13+11m=79,$ so $m=6.$

Therefore, the correct answer is C.

1966 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题