Question

设四边形 $MNPQ$ 的边 $MN$ 、 $NP$ 、 $PQ$ 、 $QM$ 的长度分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 。若 $MNPQ$ 的面积为 $A$ ，则

Let $a,$ $b,$ $c$ and $d$ be the lengths of sides $MN,$ $NP,$ $PQ$ and $QM,$ respectively, of quadrilateral $MNPQ.$ If $A$ is the area of $MNPQ,$ then

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是凸四边形

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is convex

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是矩形

$A=\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是矩形

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a rectangle

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是平行四边形

$A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 当且仅当 $MNPQ$ 是平行四边形

$A\ge\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ if and only if $MNPQ$ is a parallelogram

答案：B

知识点：面积不等式矩形

难度评级：2320

小提示：

分别沿两条对角线分割四边形，并用 $1$ 作为每个正弦值的上界

Split the quadrilateral along each diagonal and bound every sine by $1$

大提示：

合并所得的两个面积上界，并分析所有不等式同时取等号的条件

Combine the two resulting area bounds and analyze when every bound is an equality

解答：

沿对角线 $MP$ 分割并利用 $\sin\theta\le1$ ，可得 $A\le\frac{ab+cd}{2}$ 。同样，沿 $NQ$ 分割可得 $A\le\frac{ad+bc}{2}$ 。对于非凸四边形，取两个三角形面积的适当差，这些上界仍然成立。将两式相加，得到 $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2 \end{aligned}\text{，}$ 即 $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right)$ 。等号成立要求四个正弦上界全部取等号，因此四个角都是直角；反之，矩形可以取到等号。所以等号成立当且仅当四边形为矩形。

因此，正确答案是 B。

Splitting along diagonal $MP$ and using $\sin\theta\le1$ gives $A\le\frac{ab+cd}{2}.$ Splitting along $NQ$ similarly gives $A\le\frac{ad+bc}{2}.$ These bounds remain valid for a nonconvex quadrilateral by taking the appropriate difference of triangle areas. Adding them yields $\begin{aligned} 2A&\le\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\\ &=\frac{(a+c)(b+d)}2, \end{aligned}$ or $A\le\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{b+d}{2}\right).$ Equality requires equality in all four sine bounds, so all four angles are right angles; conversely a rectangle gives equality. Thus the equality holds exactly for rectangles.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：2320

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题