Question

如图， $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 是圆心为 $O$ 的圆的直径， $\overline{AB}\perp\overline{CD}$ ，弦 $\overline{DF}$ 与 $\overline{AB}$ 相交于 $E$ 。若 $DE=6$ ，且 $EF=2$ ，则圆的面积是

In the figure, $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are diameters of the circle with center $O,$ $\overline{AB}\perp\overline{CD},$ and chord $\overline{DF}$ intersects $\overline{AB}$ at $E.$ If $DE=6$ and $EF=2,$ then the area of the circle is

$23\pi$

$\frac{47}2\pi$

$24\pi$

$\frac{49}2\pi$

$25\pi$

答案：C

知识点：intersecting chords coordinates circles

难度评级：2170

小提示：

由相交弦定理可得 $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

Intersecting chords gives $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

大提示：

将 $O$ 置于原点并表示 $F$ ；利用 $E$ 将 $\overline{DF}$ 按 $3:1$ 分割这一事实

Place $O$ at the origin and express $F$ using the fact that $E$ divides $\overline{DF}$ in a $3:1$ ratio

解答：

设半径为 $r$ ，且 $OE=x$ 。由相交弦定理得 $(r+x)(r-x)=6\cdot2\text{，}$ 所以 $r^2-x^2=12$ 。取 $O=(0,0)$ 、 $D=(0,-r)$ 、 $E=(x,0)$ 。由于 $DE:EF=3:1$ ，有 $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right) \end{aligned}\text{。}$ 因为 $F$ 在圆上， $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2$ ，所以 $r^2=2x^2$ 。因此 $x^2=12$ ，且 $r^2=24$ 。圆的面积为 $24\pi$ ，所以正确答案是 C。

Let the radius be $r$ and $OE=x.$ Intersecting chords gives $(r+x)(r-x)=6\cdot2,$ so $r^2-x^2=12.$ Put $O=(0,0),$ $D=(0,-r),$ and $E=(x,0).$ Since $DE:EF=3:1,$ $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}$ Because $F$ lies on the circle, $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,$ so $r^2=2x^2.$ Therefore $x^2=12$ and $r^2=24.$ The area is $24\pi,$ so the correct answer is C.

1995 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题