Question

一个正 $m$ 边形被 $m$ 个正 $n$ 边形恰好围住（无重叠、无空隙）。（图中所示为 $m=4$ 、 $n=8$ 的情形。）若 $m=10$ ，则 $n$ 的值是多少？

A regular polygon of $m$ sides is exactly enclosed (no overlaps, no gaps) by $m$ regular polygons of $n$ sides each. (Shown here for $m=4,$ $n=8.$ ) If $m=10,$ what is the value of $n?$

$5$

$6$

$14$

$20$

$26$

答案：A

知识点：regular polygons interior angles angle sums

难度评级：1900

小提示：

在内侧多边形的每个顶点处，一个正 $m$ 边形内角与两个正 $n$ 边形内角之和为 $360^\circ$

At each vertex of the inner polygon, one $m$ -gon angle and two $n$ -gon angles fill $360^\circ$

大提示：

使用正 $k$ 边形的内角公式 $180^\circ(1-\frac{2}{k})$

Use the regular $k$ -gon interior angle $180^\circ(1-\frac{2}{k})$

解答：

在内侧多边形的一个顶点处，它的内角与周围多边形的两个内角之和为 $360^\circ$ 。因此 $\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ \end{gathered}\text{。}$ 化简得 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}$ 。代入 $m=10$ ，得到 $\frac{2}{n}=\frac{2}{5}$ ，所以 $n=5$ 。因此正确答案是 A。

At a vertex of the inner polygon, its interior angle and two angles from the surrounding polygons total $360^\circ.$ Thus $\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ. \end{gathered}$ This simplifies to $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}.$ With $m=10,$ we get $\frac{2}{n}=\frac{2}{5},$ so $n=5.$ Thus the correct answer is A.

1994 AMC 12 第 26 题

答案：A

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题