Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=10$ 、 $AC=8$ 、 $BC=6$ 。圆 $P$ 是所有经过 $C$ 且与 $AB$ 相切的圆中半径最小的一个。设圆 $P$ 与边 $AC$ 、 $BC$ 除 $C$ 外的交点分别为 $Q$ 、 $R$ 。线段 $QR$ 的长度为

In $\triangle ABC,$ $AB=10,$ $AC=8,$ and $BC=6.$ Circle $P$ is the circle with smallest radius which passes through $C$ and is tangent to $AB.$ Let $Q$ and $R$ be the points of intersection, distinct from $C,$ of circle $P$ with sides $AC$ and $BC,$ respectively. The length of segment $QR$ is

$4.75$

$4.8$

$5$

$4\sqrt2$

$3\sqrt3$

答案：B

知识点：直角三角形相切圆高线圆周角

难度评级：2100

小提示：

$6$ - $8$ - $10$ 三角形在 $C$ 处为直角；设 $H$ 为从 $C$ 向 $AB$ 所作垂线的垂足

The $6$ - $8$ - $10$ triangle is right at $C$ ; let $H$ be the foot from $C$ to $AB$

大提示：

最小的圆以 $CH$ 为直径，并且 $\angle QCR=90^\circ$

The smallest circle has $CH$ as a diameter, and $\angle QCR=90^\circ$

解答：

设 $H$ 为从 $C$ 向 $AB$ 所作高的垂足。在所有经过 $C$ 且与 $AB$ 相切的圆中，当切点为 $H$ 时半径最小，所以 $CH$ 是直径。由直角三角形的面积可得 $CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8\text{。}$ 此外， $\angle QCR=90^\circ$ ，所以 $QR$ 是圆 $P$ 的直径。因此 $QR=CH=4.8$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $H$ be the foot of the altitude from $C$ to $AB.$ Among circles through $C$ tangent to $AB,$ the least radius occurs when the tangency point is $H,$ so $CH$ is a diameter. The area of the right triangle gives $CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8.$ Also $\angle QCR=90^\circ,$ so $QR$ is a diameter of circle $P.$ Therefore $QR=CH=4.8.$

Therefore, the correct answer is B.

1978 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题